Logo
Logo

Yo-yo de-spin

Один из простейших методов обеспечить постоянство направления оси симметрии искусственного спутника при его вращении вокруг планеты — заставить его вращаться вокруг этой оси, но иногда, чтобы изменить направление движения спутника, его вращение необходимо замедлить, а затем и вовсе остановить. Один из способов снятия вращения спутника — это так называемый метод йо-йо, принцип которого показан на рисунке.

Предположим, что спутник, поперечное сечение которого показано на рисунке, представляет собой тонкостенный цилиндр радиусом $R$ и массой $M$, а $O$ — его ось симметрии. В диаметрально противоположных точках $Q$ и $Q'$ на поверхности цилиндра к нему прикреплены два лёгких нерастяжимых троса одинаковой длины, на концах которых находятся небольшие шарики массами $\frac m2$ каждый. Изначально тросы обматываются вокруг цилиндра, а шарики фиксируются в точках $P_0$ и $P'_0$ на его поверхности, образуя со спутником единое целое.

Пусть изначально спутник вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega_0$. Чтобы замедлить вращение спутника, шарики мгновенно и одновременно освобождают. Из-за вращения спутника шарики оторвутся от его поверхности и начнут удаляться, распрямляя тросы. Когда угловая скорость спутника обнуляется, тросы мгновенно отделяются от него, и в этот момент $Q$ и $Q'$ как раз оказываются точками касания тросов с поверхностью спутника. Таким образом, происходит снятие вращения.

1 Найдите длину $l$ распрямлённой части троса, когда угловая скорость спутника уменьшается до $\omega$.

2 Найдите длину тросов $L$.

3 Найдите время $t_\mathrm s$, которое требуется для снятия вращения.