Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта $S'$ и $S$, которые совпадают друг с другом в момент времени $t=0$ и первая из которых движется относительно второй вдоль оси $z$ со скоростью $v$, сравнимой со скоростью света. Частица, покоящаяся в системе отсчёта $S'$, изотропно излучает фотоны с постоянной мощностью $P$. В системе отсчёта $S$ при этом наблюдается смещение излучения к направлению движения источника.

В системе отсчёта $S$ половина излучения будет сосредоточена в конусе, симметричном относительно оси $z$.

1 Найдите угол $\alpha$ между образующей этого конуса и осью $z$.

Считайте известной формулу релятивистского преобразования скорости:\[u_x=\frac{u'_x+v}{1+\frac{u'_xv}{c^2}},\]где $u_x$ и $u'_x$ – скорости в системах отсчёта $S$ и $S'$ соответственно, а $c$ – скорость света.

2 Найдите в системе отсчёта $S$ суммарный импульс $\dot p$ и энергию $\dot E$ всех фотонов, излучаемых частицей в единицу времени.