Pho.rs: Силы Ван-дер-Ваальса

Условие

Edu

CN09^o

Молекулы благородных газов – одноатомные молекулы. Распределение отрицательного заряда в свободном атоме сферически симметрично, и центр электронного облака совпадает с центром атома, но когда два атома расположены на небольшом расстоянии друг от друга, они могут быть поляризованы из-за электростатического взаимодействия (т.е. при этом центры электронных облаков не совпадают с центрами ядер), в результате чего возникают силы – т.н. силы Ван-дер-Ваальса. В этой задаче попробуем построить упрощённую модель для исследования этих сил.

Пусть центр электронного облака не совпадает с центром ядра. Введём смещение центра электронного облака $x$, как показано на рисунке 1 – так, что оно положительно, когда центр облака находится справа от ядра, и отрицательно, когда центр находится слева. В этот момент сила $f$, с которой ядро действует на облако, эквивалентна силе упругости пружины с коэффициентом жёсткости $k$, т.е. $f=-kx$, – сила направлена к ядру, а массу электронного облака можно считать сосредоточенной в его центре. Таким образом, атом можно смоделировать пружинным маятником.

Рассмотрим два одинаковых атома благородного газа, ядра которых находятся на фиксированном расстоянии $R$ друг от друга. Положительный заряд каждого ядра равен $q$, а масса электронного облака равна $m$. Смещения центров электронных облаков относительно ядер, вызванные электростатическим взаимодействием атомов, обозначим соответственно $x_1$ и $x_2$, и, как показано на рисунке 2, $|x_1|\ll R$ и $|x_2|\ll R$. Ясно, что электронное облако каждого атома взаимодействует не только с ядром этого же атома, но и облаком и ядром другого.

Как известно, энергия изолированного гармонического осциллятора $E=\frac{mv^2}2+\frac{kx^2}2$ сохраняется (здесь $v$ – скорость осциллятора, $m$ – его масса, а $x$ – смещение относительно положения равновесия). В квантовой механике доказывается, что энергия гармонического осциллятора при абсолютном нуле равна $\frac{\hbar\omega}2$ – т.н. нулевая энергия колебаний (здесь $\hbar=\frac h{2\pi}$, $h$ – постоянная Планка, $\omega=\sqrt{\frac km}$ – циклическая частота осциллятора).

1 Вычислите при абсолютном нуле разность энергий $\Delta E$ между системой из двух атомов благородного газа, в которой учитываются силы Ван-дер-Ваальса, и системой из двух таких же атомов, находящихся на очень большом расстоянии друг от друга (таким образом, их можно рассматривать как изолированные и не учитывать силы Ван-дер-Ваальса). На основе этого результата определите, являются силы Ван-дер-Ваальса притягивающими или отталкивающими.

В процессе вычислений вам могут понадобиться следующие формулы:\[\sqrt{1+x}\approx1+\frac x2-\frac{x^2}8,\\\frac1{1+x}\approx1-x+x^2\]при $|x|\ll1$.