Pho.rs: Шестнадцатичасовая орбита

Условие

Edu

CN08^o

После отделения от ракеты-носителя "Чанчжэн-3A" автоматическая межпланетная станция "Чанъэ-1" выходит на эллиптическую орбиту вокруг Земли с высотой $H_n=2.05\cdot10^2~кг$ в перигее и $H_f=5.0930\cdot10^4~км$ в апогее. Период станции на этой орбите равен примерно 16 часам, поэтому орбита называется 16-часовой (показана на рисунке кривой 1).

Чтобы в дальнейшем увести станцию дальше от Земли, двигатель сначала запускается в апогее, и станция выходит на новую орбиту (показана на рисунке кривой 2) с увеличенной высотой в перигее. После этого двигатель трижды запускается в перигее, чтобы увеличить высоту в апогее и вывести станцию сначала на 24-часовую, затем на 48-часовую орбиту и, наконец, на орбиту перехода Земля–Луна (показаны на рисунке кривыми 3, 4 и 5 соответственно).

$\textit{Известно, что:}$

— масса станции $m=2.350\cdot10^3~кг$;
— радиус Земли $R=6.378\cdot10^3~км$;
— ускорение свободного падения на поверхности Земли $g=9.81~\fracм{с^2}$;
— радиус Луны $r=1.738\cdot10^3~км$.

1 Найдите длины большой и малой полуосей 16-часовой орбиты $a$ и $b$ соответственно и её эксцентриситет $e$.

При запуске двигателя в апогее 16-часовой орбиты сила тяги равна $F=490~Н$ и направлена вдоль скорости станции. Время ускорения очень мало, поэтому длина и направление большой полуоси орбиты остаются постоянными.

2 В течение какого времени $\Delta t$ должен быть включен двигатель, чтобы новая высота станции в перигее составляла $600~км$?

3 Найдите реальное значение периода $T$ движения станции на 16-часовой орбите.

В конце концов, станция выходит на круговую орбиту вокруг Луны. Высота этой орбиты над поверхностью Луны составляет около $200~км$, а её период равен $T_m=127~мин$.

4 На основе этих данных оцените отношение масс Луны и Земли $\frac{M_\mathrm m}M$.