Как показано на рисунке, на горизонтальной плоскости $xOy$ размещена круглая пластина, причём её центр совпадает с центром координат $O$. Сверху от плоскости $xOy$ существуют электрическое поле $E$, направленное противоположно оси $z$, и магнитное поле $B$, сонаправленное с этой осью, причём за пределами вертикального цилиндра, основанием которого является пластина, поля отсутствуют. Из начала координат $O$ изотропно по всем направлениям над плоскостью $xOy$ испускаются положительно заряженные частицы. Их заряд равен $q$, масса $m$, а начальная скорость $v$. При решении задачи пренебрегите силой тяжести, действующей на частицы, а также взаимодействием частиц.

1  ^12.00 Считая, что каждое столкновение частицы с пластиной является упругим, найдите радиус $R$ последней, если количество частиц, остающихся в процессе движения в области над пластиной, равно $\eta=50\%$ от общего числа частиц.

Теперь считайте, что при столкновении с пластиной направление горизонтальной составляющей скорости не меняется, а вертикальная и горизонтальная составляющие скорости изменяются пропорционально своим значениям так, что кинетическая энергия частицы уменьшается на $10 \%$.

2.1  ^13.00 Найдите максимальное значение проекции на ось $xOy$ расстояния $s_{z=0}^{max}$, на которое переместится частица до своего первого столкновения с пластиной.

2.2  ^10.00 Найдите, какой путь $s_{\text{total}}$ пройдёт частица из п. 2.1 до того, как осядет на пластину.

Считайте известным значение интеграла: $$\int du \sqrt{1+u^2} = \frac{1}{2} u \sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2} \ln{\left( u + \sqrt{1+u^2}\right)}+C,$$где $C$ — константа интегрирования.