Logo
Logo

Преследование на орбите

1  ?? Если масса объекта $m$, его полная механическая энергия $E$ и момент импульса $L$ известны, выразите через эти величины и $r_0$, $v_0$ параметры орбиты $R$ и $\varepsilon$.

Ответ: \[R=\frac{L^2}{m^2r_0v_0^2},\quad\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m^3r_0^2v_0^4}}\]

2  ?? Запишите уравнение орбиты $r_c(\theta_c)$ объекта после ускорения через $r_0$, эксцентриситет $\varepsilon$ и $\phi$.

Ответ: \[r_c(\theta_c)=\frac{r_0(1+\varepsilon\cos\phi)}{1+\varepsilon\cos(\theta_c+\phi)}\]

3  ?? Найдите отношение $\frac{T_c}{T_A}$ периодов обращения объекта и цели. Ответ выразите через $\varepsilon$ и $\phi$.

Ответ: \[\frac{T_c}{T_A}=\left(\frac{1+\varepsilon\cos\phi}{1-\varepsilon^2}\right)^{3/2}\]

4  ?? Определим два безразмерных параметра ускорения (см. рисунок (b)): безразмерное изменение скорости $\delta=\frac{|\Delta\vec v|}{|\vec v_0|}$ и угол $\alpha$ между $\vec v$ и $\Delta\vec v$ (отсчитывается по часовой стрелке). Выразите через $\delta$ и $\alpha$ величины $\varepsilon$ и $\varepsilon\cos\phi$ для орбиты объекта $c$.

Ответ: \[\varepsilon=\delta\sqrt{1+3\cos^2\alpha+2\delta\cos\alpha\left(1+\cos^2\alpha\right)+\delta^2\cos^2\alpha},\\\varepsilon\cos\phi=\delta\cos\alpha(2+\delta\cos\alpha)\]

5  ?? Выразите $n_A$ через $n_c$, $\theta_0$, $\varepsilon$ и $\phi$.

Ответ: \[n_A=\frac{\theta_0}{2\pi}+n_c\left(\frac{1+\varepsilon\cos\phi}{1-\varepsilon^2}\right)^{3/2}\]

6  ?? Выразите $n_A$ через $\delta$ и $\alpha$ и найдите при фиксированной $\delta$ два очевидных экстремума $\alpha_0$ функции $n_A(\alpha)$ (экстремальность гарантирует, что даже если $\alpha$ немного отклонится $\alpha_0$ из-за неидеального позиционирования объекта, решение всё равно будет примерно верное, что очень удобно при стыковке).

Ответ: \[n_A=\frac{\theta_0}{2\pi}+n_c\left[\frac{1+\delta\cos\alpha(2+\delta\cos\alpha)}{1-\delta^2\left[1+3\cos^2\alpha+2\delta\cos\alpha\left(1+\cos ^2\alpha\right)+\delta^2\cos^2\alpha\right]}\right]^{3/2},\ \alpha_0=0,\quad\alpha_0=\pi\]

7.1  ?? $\delta$ имеет верхний предел $\delta_\max$ (т.е. при $\delta > \delta_\max$ объект $c$ не встретится с целью $A$). Найдите $\delta_\max$.

Ответ: \[\delta_\max=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt2-1,&\alpha_0=0\\\sqrt2+1,&\alpha_0=\pi\end{array}\right.\]

7.2  ?? Пусть $\theta_{A,i}=\theta_0$. Найдите соотношение между $\delta$, $\theta_0$, $n_A$ и $n_C$. Найдите $\delta$ при $\theta_0=\frac\pi2$, $n_A=2$ и $n_c=1$.

Ответ: \[\delta^2+2\delta+\left(\frac{2\pi n_c}{2\pi n_A-\theta_0}\right)^{3/2}-1=0,\\\delta=-1+\sqrt{2-\left(\frac47\right)^{2/3}}\approx0.145, если \alpha_0=0,\\\delta^2-2\delta+\left(\frac{2\pi n_c}{2\pi n_A-\theta_0}\right)^{3/2}-1=0,\\\delta=1+\sqrt{2-\left(\frac47\right)^{2/3}}\approx2.145, если \alpha_0=\pi\]