Тёмная материя составляет почти четверть всей материи во Вселенной и может состоять из новых фундаментальных частиц. Учёные пытаются зарегистрировать взаимодействия между частицами тёмной материи и частицами, известными науке, и одним из важных типов экспериментов в данной области является поиск взаимодействий тёмной материи с атомными ядрами. В таких экспериментах в качестве мишени используют какое-нибудь конкретное вещество, с ядрами атомов которого должны сталкиваться частицы тёмной материи при попадании в детектор. В ходе этого процесса изначально практически покоящиеся ядра атомов получают часть кинетической энергии частиц тёмной материи и движутся внутри мишени, создавая оптические и электрические сигналы. Детекторы обнаруживают эти сигналы и позволяют тем самым проводить наблюдения тёмной материи.
В качестве вещества мишени выбирается изотоп ксенона ${}^{132}\rm Xe$. Будем предполагать, что массы $M$ частиц тёмной материи $X$ и ядра ${}^{132}\rm Xe$ в 132 раза превышают массу протона $m_p$, а в системе отсчёта центра масс частицы $X$ и ядра ${}^{132}\rm Xe$ рассеяние происходит изотропно (т.е. с одинаковой плотностью распределения вылетающих частиц по всем направлениям). Частица $X$ входит в детектор вдоль оси $z$ со скоростью $v_0=200~\frac{км}{с}$ и сталкивается с неподвижным ядром-мишенью ${}^{132}\rm Xe$. Ответы пункта 1 приводите в лабораторной системе отсчёта (т.е. системе отсчёта, покоящейся относительно ядра ${}^{132}\rm Xe$ до столкновения).
Для представления размера взаимодействующих частиц обычно используют понятие сечения рассеяния, которое в некотором смысле представляет собой площадь поперечного сечения реакции, к примеру, площадь поперечного сечения столкновения двух твёрдых сфер радиусами $r_1$ и $r_2$ равна $\pi(r_1+r_2)^2$.
Пусть теперь в детекторе находится $1.0~тонна$ атомов ксенона, а сечение рассеяния столкновения частицы $X$ с ядром ${}^{132}\rm Xe$ составляет $\sigma=1.0\cdot10^{-38}~\text{см}^2$. Считайте, что плотность тёмной материи в окрестности Земли $\rho=0.40~\frac{m_p}{\text{см}^3}$, скорости всех её частиц $X$ равны $v=100~\frac{\text{км}}{\text{с}}$, постоянная Авогадро $N_A=6.023\cdot10^{23}~\text{моль}^{-1}$, а молярная масса протонов $\mu_p=1.0~\frac{\text{г}}{\text{моль}}$.
Причиной возникновения регистрируемого детектором сигнала является большая кинетическая энергия, полученная ядром ${}^{132}\rm Xe$ при столкновении. Сигнал может быть зарегистрирован только в том случае, когда кинетическая энергия превышает порог детектора, который в рассматриваемом эксперименте равен $E_{k\min}=10~\text{кэВ}$. Масса протона $m_p=0.94~\frac{\text{ГэВ}}{c^2}$, где $c$ — скорость света в вакууме.
Скорость частиц тёмной материи в Млечном Пути подчиняется некоторому распределению $f(v)$, причём у их скоростей существует верхний предел $v_\max$, т.е. при $v > v_\max$, $f(v)=0$.
В лабораторной системе отсчёта на Земле верхний предел распределения скоростей частиц тёмной матери составляет $0.002c$. Кроме того, реальная масса частиц тёмной материи неизвестна.