Электрические взаимодействия играют важную роль в живых организмах. Если поместить молекулу кислоты, к примеру, ДНК, в воду, то некоторые слабо связанные с ней атомы могут диссоциировать. Положительные ионы будут покидать молекулу, делая её тем самым отрицательно заряженной. Точно так же и клеточные мембраны в воде будут заряжаться отрицательно, а электростатическое отталкивание между ними предотвращает «слипание» макромолекул, мембран и клеток. Поскольку вещество в целом электрически нейтрально, то большое количество положительных ионов в растворе вызовет ослабление силы взаимодействия между мембранами с расстоянием. При решении задачи считайте, что температура всегда равна комнатной $T$.

Рассмотрим область вблизи поверхности с внешней стороны отрицательно заряженной клеточной мембраны (область, в которой плавают положительные ионы). Клеточную мембрану при этом можно рассматривать как бесконечную плоскость. Возьмём ось $x$ перпендикулярно внешней поверхности мембраны с началом на ней. Диэлектрическая проницаемость раствора, окружающего мембрану, равна $\varepsilon$, а плотность поверхностного заряда на мембране равна $-\sigma$ ($\sigma > 0$). Система находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Из-за электростатического взаимодействия плотность положительных ионов в растворе неоднородна, но можно считать, что каждая часть локально находится в равновесии. Поведение положительных ионов при этом аналогично поведению молекул в атмосфере с тем лишь исключением, что на положительные ионы действует электрическое поле, а на молекулы атмосферы — гравитационное. Примем концентрацию положительных ионов $n_0$ у самой поверхности мембраны за неопределённую постоянную. Заряд электрона $-e$, заряд положительного иона $+e$, постоянная Больцмана $k$. Силу тяжести и вязкость воды не учитывайте.

1.1 Запишите дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал электрического поля $\varphi$.

$\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды.

A

Поверхность клеточной мембраны можно считать проводящей, а потенциал на её поверхности выбирается равным нулю.

1.2 Запишите граничные условия, которым удовлетворяет потенциал $\varphi$ на поверхности мембраны.

A

Для уравнения, полученного в пункте 1.1, при заданных граничных условиях в качестве анзаца возьмём логарифмическую функцию $\varphi(x)=A\ln(1+Bx)$.

1.3 Определите $n_0$, $A$ и $B$. Выразите $\varphi(x)$ и $n(x)$ (концентрация положительных ионов в точке $x$) через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$ и $k$.

A

1.4 Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы.

A

1.5 Найдите энергию электрического поля $U_f$ и суммарную потенциальную энергию положительных ионов $U_e$ в этом поле, приходящуюся на единицу площади мембраны.

A

Рассмотрим теперь ситуацию, когда две клетки расположены близко друг к другу. Происходящее между двумя их мембранами может быть изучено с помощью следующей упрощённой модели. Рассмотрим две однородные отрицательно заряженные с поверхностной плотностью $-\sigma$ параллельные бесконечные пластины, расположенные на расстоянии $2D$ друг от друга. В качестве начала координат выберем середину между пластинами, ось $x$ направим перпендикулярно им, а потенциал в начале координат примем равным нулю. За неопределённую постоянную вновь примем концентрацию положительных ионов $n_0$ при $x=0$. В качестве анзаца в этот раз возьмём функцию $\varphi(x)=A\ln\left[\cos(Bx)\right]$.

2.1 Определите $A$ и $B$. Выразите ответ через $T$, $\varepsilon$, $e$, $k$ и $n_0$.

A

2.2 Выразите $n_0$ через $D$, $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$, $k$ и $\theta$ ($\theta$ — решение трансцендентного уравнения, которое должно вам встретиться).

A

2.3 Найдите разность $\Delta n\equiv n(\pm D)-n_0$ между концентрациями положительных ионов у поверхности двух мембран и посередине между ними. Выразите ответ через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$ и $k$.

A

2.4 Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы.

A

2.5 Найдите силу $f$, действующую на единицу площади заряженной плоскости (мембраны). Известно, что внутри и снаружи мембрана заполнена водой одинаковой плотности.

$\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии.

A

2.6 При неизменных прочих условиях в приближении мембран как бесконечных пластин исследуйте поведение $f$ в двух предельных случаях — большого расстояния $D$ и малого.

A