Pho.rs: Клеточные мембраны

1.1 ^?? Запишите дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал электрического поля $\varphi$.

$\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды.

Ответ: \[\frac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}=-\frac{en_0}\varepsilon\exp\left(-\frac{e\varphi}{kT}\right)\]

1.2 ^?? Запишите граничные условия, которым удовлетворяет потенциал $\varphi$ на поверхности мембраны.

Ответ: \[\left.\varphi(x)\right\vert_{x=0}=0,\quad\left.\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\vert_{x=0}=\frac\sigma\varepsilon\]

1.3 ^?? Определите $n_0$, $A$ и $B$. Выразите $\varphi(x)$ и $n(x)$ (концентрация положительных ионов в точке $x$) через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$ и $k$.

Ответ: \[A=\frac{2kT}e,\quad B=\frac{\sigma e}{2\varepsilon kT},\quad n_0=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon kT},\\\varphi(x)=\frac{2kT}e\ln\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon kT}\right),\\n(x)=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon kT}\frac1{\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon kT}\right)^2}\]

1.4 ^?? Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы.

Ответ: Действительно, заряд положительных ионов, приходящийся на единицу площади мембраны, равен:

\[e\int_0^{+\infty}n(x)\mathrm{~d}x=\frac{\sigma^2e}{2\varepsilon kT}\int_0^{+\infty}\frac1{\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon kT}\right)^2}\mathrm{~d}x=\sigma\int_0^{+\infty}\frac1{(1+y)^2}\mathrm{~d}y=\sigma\]

1.5 ^?? Найдите энергию электрического поля $U_f$ и суммарную потенциальную энергию положительных ионов $U_e$ в этом поле, приходящуюся на единицу площади мембраны.

Ответ: \[U_f=\frac{\sigma kT}e,\quad U_e=\frac{2\sigma kT}e\]

2.1 ^?? Определите $A$ и $B$. Выразите ответ через $T$, $\varepsilon$, $e$, $k$ и $n_0$.

Ответ: \[A=\frac{2kT}e,\quad B=\sqrt{\frac{n_0e^2}{2\varepsilon kT}}\]

2.2 ^?? Выразите $n_0$ через $D$, $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$, $k$ и $\theta$ ($\theta$ — решение трансцендентного уравнения, которое должно вам встретиться).

Ответ: $n_0=\frac{2\varepsilon kT\theta^2}{e^2D^2},$ где $\theta$ — решение уравнения: $\theta\tan\theta=\frac{e\sigma D}{2\varepsilon kT},\quad0 < \theta < \frac\pi2$

2.3 ^?? Найдите разность $\Delta n\equiv n(\pm D)-n_0$ между концентрациями положительных ионов у поверхности двух мембран и посередине между ними. Выразите ответ через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$ и $k$.

Ответ: \[\Delta n=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon kT}\]

2.4 ^?? Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы.

Ответ: \[\int_{-D}^Den(x)\mathrm{~d}x=en_0\int_{-D}^D\frac{\mathrm{~d}x}{\cos^2(Bx)}=\frac{2e}B\frac{2\varepsilon kT\theta^2}{e^2D^2}\tan\theta=\frac{2e}B\frac{2\varepsilon kT\theta}{e^2D^2}\frac{\sigma eD}{2\varepsilon kT}=2\sigma\]

2.5 ^?? Найдите силу $f$, действующую на единицу площади заряженной плоскости (мембраны). Известно, что внутри и снаружи мембрана заполнена водой одинаковой плотности.

$\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии.

Ответ: \[f=\frac{2\varepsilon k^2T^2\theta^2}{e^2D^2}\]

2.6 ^?? При неизменных прочих условиях в приближении мембран как бесконечных пластин исследуйте поведение $f$ в двух предельных случаях — большого расстояния $D$ и малого.

Ответ: При малых расстояниях $\frac{\sigma eD}{2\varepsilon kT}\ll1$: $f\propto\frac1D,$

при больших расстояниях $\frac{\sigma eD}{2\varepsilon kT}\gg1$: $f\propto\frac1{D^2}$

Клеточные мембраны

Решение