A1  ^0.40 Получите выражение для фазовой скорости $v_p$ через $\epsilon$ и $\mu_0$.

A1. 1 Используется, что $v_p=\cfrac{\omega} {k}$	0.20
A1. 2 Ответ: $v_p=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon}}$	0.20

A2  ^0.20 Напишите, как выражается показатель преломления $n$.

A2. 1 Используется, что $\cfrac{\omega} {k}=\cfrac{c}{n}$	0.10
A2. 2 Ответ: $n=c \sqrt{\mu_{0} \epsilon}$	0.10

A3  ^0.40 В каком направлении $\hat{S} \equiv \vec{S}/S$ переносится энергия? Какова скорость лучей $v_r$?

A3. 1 Направление $\vec S$ совпадает с направлением $\vec k$, т.е. $\hat S = \hat k$	0.20
A3. 2 Использовано $v_r = \cfrac{S}{u}$	0.10
A3. 3 Ответ: $v_r = v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon}}$	0.10

B1  ^1.50 Пусть волновой вектор $\vec{k}$ лежит в плоскости $xz$: $\vec{k}=k(\sin \theta,0,\cos \theta)$. При заданном $\theta$ плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях $\vec{D}$ и $\vec{B}$.

Найдите эти возможные направления.

Выразите также все соответствующие показатели преломления через $\theta$, $n_o$ и $n_e$.

При каком угле $\theta$ возможно лишь одно значение показателя преломления?

B1. 1 Идея зануления детерминанта системы уравнений с проекциями $E$, верно выписан детерминант	0.20
B1. 2 Получено верное уравнение, содержащее $n$: $$\left(1-\frac{n_{o}^{2}}{n^{2}}\right)\left[\left(\frac{n_{o}^{2}}{n^{2}}-\cos ^{2} \theta\right)\left(\frac{n_{e}^{2}}{n^{2}}-\sin ^{2} \theta\right)-\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta\right]=0$$	0.10
B1. 3 Первое решение: $n=n_0$	0.10
B1. 4 Второе решение: $n = \frac{n_{o} n_{e}}{\sqrt{n_{o}^{2} \sin ^{2} \theta+n_{e}^{2} \cos ^{2} \theta}}$	0.20
B1. 5 Для первого решения: $\hat{B}=\pm \hat{k} \times \hat{y}=\pm(-\cos \theta, 0, \sin \theta)$ Для второго решения: $\hat{B}=\pm \hat{y}$ (Оценивается при любых знаках: $\pm$, $+$, $-$)	2 × 0.20
B1. 6 Для первого решения: $\hat{D}=-\hat{k} \times \hat{B}=\pm(0,1,0)=\pm \hat{y}$ Для второго решения: $\hat{D}=\pm \hat{y} \times \hat{k}=\pm(\cos \theta, 0,-\sin \theta)$ (Оценивается при любых знаках: $\pm$, $+$, $-$)	2 × 0.20
B1. 7 Только одно $n$ при $\theta=0$	0.10

B2  ^0.80 Поляризация световой волны (направление колебаний $\vec{E}$) может быть перпендикулярна плоскости $xz$ ({\it обыкновенная волна}, {\it обыкновенный луч}) или лежать в этой плоскости ({\it обыкновенная волна/луч}).

Для каждой из волн, найденных вами в {\bf B.1}, запишите единичный вектор в направлении поляризации.

Укажите, какая из них обыкновенная, а какая — необыкновенная.

Вычислите $\tan \alpha$, где $\alpha$ — угол между $\vec{E}$ и $\vec{D}$ ($\alpha$ положительный, если вектора $\vec{E}$ и $\vec{D}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\vec{E}$ к $\vec{D}$ происходит по часовой стрелке).

B2. 1 Верное отношение $E_z : E_x$ для случая $n=\frac{n_{o} n_{e}}{\sqrt{n_{o}^{2} \sin ^{2} \theta+n_{e}^{2} \cos ^{2} \theta}}$	0.10
B2. 2 Верное направление поляризации для соответствующего показателя преломления $\hat{E} = \pm \hat{y}$	0.10
B2. 3 Верное направление поляризации для соответствующего показателя преломления $\hat{E} = \pm \frac{1}{\sqrt{n_{o}^{4} \sin ^{2} \theta+n_{e}^{4} \cos ^{2} \theta}} (-n^2_e \cos \theta, 0, n^2_o \sin \theta)$	0.10
B2. 4 Верное выражение для угла $\vec{E}$ и $\vec{D}$ по отношению к оси $x$	0.10
B2. 5 Ответ $\tan \alpha = 0$	0.10
B2. 6 Ответ $\tan \alpha = \frac{(n_o^2 - n_e^2) \tan \theta}{n_e^2 + n_e^2 \tan \theta}$	0.10
B2. 7 Верное указание обыкновенного луча	0.10
B2. 8 Верное указание необыкновенного луча	0.10

B3  ^0.60 Используйте результаты пунктов {\bf B.1} и {\bf B.2} в случае, когда $\vec{k}$ по-прежнему составляет угол $\theta$ с положительным направлением оси $z$, но не лежит в плоскости $xz$.

Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации.

B3. 1 Осознание осевой симметрии и замена $\hat{x}$ на $\hat{k}_\perp$	0.20
B3. 2 Верное выражение для поляризации $\hat{E} = \pm \hat{y}$	0.10
B3. 3 Верное выражение для поляризации $\hat{E} = \pm \frac{1}{\sqrt{n_{o}^{4} \sin ^{2} \theta+n_{e}^{4} \cos ^{2} \theta}} \times \frac{(-n_{e}^{2} \cos ^{2} \theta ) \hat{k}+\left(n_{e}^{2} \sin ^{2} \theta+n_{o}^{2} \cos ^{2} \theta\right) \hat{z}}{\sin \theta}$	0.10
B3. 4 Верные выражения для $n$	0.10
B3. 5 Верные указания типов лучей	0.10

B4  ^0.80 Пусть $\vec{k} = k(\sin \theta,0,\cos \theta)$, как в пунктах {\bf B.1-3}. Угол между $\hat{k} \equiv \vec{k}/k$ и направлением луча, $\hat{S}$, обозначим $\alpha_r$ ($\alpha_r$ положительный, если вектора $\hat{S}$ и $\hat{k}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\hat{S}$ к $\hat{k}$ происходит по часовой стрелке).

Найдите возможные значения $\tan \alpha_r$, скорости лучей $v_r$ и вектора Пойнтинга $\hat{S}$. Используя эти результаты, выразите величину $n_s = c/v_r$ через $\hat{S}$, $\hat{x}$, $\hat{z}$, $n_o$, $n_e$.

B4. 1 Верные выражения для $\tan \alpha_r$ (по 0.1 для каждого $n$) $\tan \alpha_r=0$ $\tan \alpha_r=\frac{\left(n_{o}^{2}-n_{e}^{2}\right) \tan \theta}{n_{e}^{2}+n_{o}^{2} \tan ^{2} \theta}=\tan \alpha$	2 × 0.10
B4. 2 Верные выражения для $v_r$ (по 0.1 для каждого $n$) $v_r=\frac{c}{n_0}$ $v_r=\frac{c}{n_{o} n_{e}} \frac{\sqrt{n_{e}^{4} \cos ^{2} \theta+n_{o}^{4} \sin ^{2} \theta}}{\sqrt{n_{e}^{2} \cos ^{2} \theta+n_{o}^{2} \sin ^{2} \theta}}$	2 × 0.10
B4. 3 Верные выражения для $\hat{S}$ (по 0.1 для каждого $n$) $\widehat{\mathrm{S}}=(\sin \theta, 0, \cos \theta)$ $\begin{array}{l} \widehat{\mathrm{S}}=\frac{1}{\sqrt{n_{e}^{4} \cos ^{2} \theta+n_{o}^{4} \sin ^{2} \theta}} \times \left(n_{o}^{2} \sin \theta, 0, n_{e}^{2} \cos \theta\right) \end{array}$	2 × 0.10
B4. 4 Верное выражение для $n_s = \sqrt{(\hat{\mathrm{S}} \cdot \hat{x})^{2} n_{e}^{2}+(\hat{\mathrm{S}} \cdot \hat{z})^{2} n_{0}^{2}}$	0.20

B5  ^1.10 Получите выражения для $\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$ через $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $n \sin \theta_1$, где $P_1=n^2_o \cos^2 \phi+n^2_e \sin^2 \phi$, $P_2=n^2_o \sin^2 \phi+n^2_e \cos^2 \phi$, $P_3=(n^2_o - n^2_e) \sin \phi \cos \phi$. С помощью уравнения (1) найдите $\tan \theta_2$ для двух случаев ориентации: $\phi =0$ и $\phi = \pi/2$.

B5. 1 Указание, что путь определяется длиной оптического пути $d_1 n_{s_1}+d_2 n_{s_2}$, где $d_1 = AO$, $d_2 = OB$	0.10
B5. 2 $n_{s_1}$ и $n_{s_2}$ соответсвующие показатели преломления для путей $d_1$ и $d_2$	0.20
B5. 3 Верное выражения для длин оптических путей через геометрические величины (такие как $\theta_1$, $\phi$, $\theta_2$, координаты точек A и B)	0.30
B5. 4 Каждая незначительная ошибка в прошлом выражении: -0.1	3 × -0.10
B5. 5 Верное выражение для $\bar{A} =-2 P_{3}\left(n^{2} \sin ^{2} \theta_{1}-P_{1}\right)$	0.10
B5. 6 Верное выражение для $\bar{B} =-2 P_{3}\left(n^{2} \sin ^{2} \theta_{1}-P_{1}\right)$	0.10
B5. 7 Верное выражение для $\bar{C} = P_{2} n^{2} \sin ^{2} \theta_{1}-P_{3}^{2}$	0.10
B5. 8 Верное выражение для $\tan \theta_2 =\frac{n n_{e} \sin \theta_{1}}{n_{o} \sqrt{n_{o}^{2}-n^{2} \sin ^{2} \theta_{1}}}$ когда $\phi = 0$	0.10
B5. 9 Верное выражение для $\tan \theta_2 =\frac{n n_{o} \sin \theta_{1}}{n_{o} \sqrt{n_{o}^{2}-n^{2} \sin ^{2} \theta_{1}}}$ когда $\phi = \pi/2$	0.10

C1  ^0.80 Найдите все возможные отношения (известные как {\it условия фазового синхронизма}) между этими угловыми частотами и волновыми векторами.

Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов?

Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой $\omega$ и волновым вектором $\vec{k}$ расщепляется на два фотона с угловыми частотами $\omega_1$и $\omega_2$, распространяясь с волновыми векторами $\vec{k}_1$и $\vec{k}_2$, соответственно.

C1. 1 $\omega = \omega_1+\omega_2$ (плюс)	0.10
C1. 2 $\omega = \omega_1-\omega_2$ (минус)	0.10
C1. 3 $\vec{k} = \vec{k}_1 + \vec{k}_2$ (плюс)	0.10
C1. 4 $\vec{k} = \vec{k}_1 - \vec{k}_2$ (минус)	0.10
C1. 5 $\hbar \vec{k} = \hbar \vec{k}_1 \pm \hbar \vec{k}_2$ Добавление $\hbar$ и интерпретация как ЗСИ	0.10
C1. 6 $\hbar \omega = \hbar \omega_1 \pm \hbar \omega_2$ Добавление $\hbar$ и интерпретация как ЗСЭ	0.10
C1. 7 Верное выражение в случае расщепления $\omega = \omega_1+\omega_2$	0.10
C1. 8 Верное выражение в случае расщепления $\vec{k} = \vec{k}_1 + \vec{k}_2$	0.10

C2  ^0.80 Рассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как ${\bf o}$ и необыкновенный луч как ${\bf e}$. Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: ${\bf o → o + o}$, ${\bf o → e + o}$, ${\bf o → o + e}$, ${\bf o → e + e}$, ${\bf e → o + o}$, ${\bf e → e + o}$, ${\bf e → o + e}$, и ${\bf e → e + e}$. Предположим, что коэффициенты преломления $n_o$ и $n_e$ оба являются возрастающей функцией от $\omega$. Используя те же обозначения как и в вопросе C1 и считая что $\vec{k}$, $\vec{k}_1$, и $\vec{k}_2$ коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны.

C2. 1 Указание факта. Существует противоречие для разделения на один и тот же тип светового луча из-за того, что показатели преломления $n_0$ и $n_e$ оба являются возрастающими функциями от $\omega$.	0.40
C2. 2 Верно указано ${\bf o → o + o}$	0.20
C2. 3 Верно указано ${\bf e → e + e}$	0.20
C2. 4 Указание любого другого: –0.2 балла за каждый	6 × -0.20

C3  ^1.30 Пусть $M >0$. Выразите $M$, $N$, и $L$ через $\Omega$, $\Omega_e$, $\Omega_o$, $K_e$, $K_o$ и $N_e (\omega,\theta)=\frac{1}{n_e(\omega,\theta)}\frac{dn_e(\omega,\theta)}{d \theta}$ и групповые скорости $u_o=\frac{dw_2}{d k_2}$ и $u_e =\frac{d \omega_1}{d k_1}$ для ${\bf o}$ и ${\bf e}$ лучей. Оцените угол между осью конуса и осью $z'$, и также оцените угол между осью и образующей конуса через $L$, $M$, $N$ and $K_o$.

C3. 1 Осознание сохранение импульса вдоль оси $z$: $K_p = k_{1z} + k_{2z}$	0.10
C3. 2 Верная подстановка для $k_{2z}$ [наверное тут имелось ввиду $K_p$]	0.30
C3. 3 Незначительные ошибки для числового множителя (в прошлом пункте): -0.1 pt	-0.10
C3. 4 Верная подстановка для $k_{1z}$ [наверное тут имелось ввиду $k_{1z}$]	0.20
C3. 5 Незначительные ошибки для числового множителя (в прошлом пункте): -0.1 pt	-0.10
C3. 6 Верная подстановка для $k_{1z}$ [наверное тут имелось ввиду $k_{2z}$]	0.20
C3. 7 Незначительные ошибки для числового множителя (в прошлом пункте): -0.1 pt	-0.10
C3. 8 Верное выражение для $M = \frac{K_{o}\left(1-N_{\mathrm{e}}\left(\Omega_{e}, \theta\right) \cot \theta\right)+K_{e}}{2 K_{o} K_{e}}$	0.10
C3. 9 Верное выражение для $N = -\frac{N_e}{2M}$	0.10
C3. 10 Верное выражение для $L =-\left(\Omega-\Omega_{e}\right)\left(\frac{1}{u_{e}}-\frac{1}{u_{o}}\right)+\frac{N_{e}^{2}}{4 M}$	0.10
C3. 11 Верное выражения для угла между осью конуса и осью $z'$ (через $N$ и $K_0$) $N / K_{o}=-\frac{2 K_{e} N_{e}}{K_{o}\left[1-N_{e}\left(\Omega_{e}, \theta\right) \cot \theta\right]+K_{e}}$	0.10
C3. 12 Верное выражения для угла между осью конуса и образующей (через $L$, $M$ и $K_0$) $\frac{\sqrt{L / M}}{K_{o}}=-\frac{\left(\Omega-\Omega_{e}\right)}{D K_{o}}\left(\frac{1}{u_{o}}-\frac{1}{u_{e}}\right)+\frac{N_{e}^{2}}{4 D^{2} K_{o}}$	0.10

C4  ^0.80 Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности $P(\alpha,\beta)$, $P(\alpha,\beta_{\perp})$, $P(\alpha_{\perp},\beta)$, и $P(\alpha_{\perp},\beta_{\perp})$.

C4. 1 Правильное выражение электрических полей вдоль направления $\hat{x}'$ и $\hat{y}'$ через электрические поля вдоль направления поляризатора и перпендикулярно направлению поляризатора для отдельных	2 × 0.10
C4. 2 Правильное выражение состояния пары запутанных фотонов $\frac{1}{\sqrt{2}} (|\hat{x}'_a \rangle|\hat{y}'_b\rangle+|\hat{y}'_a \rangle|\hat{x}'_b\rangle)$ в терминах комбинации состояний с использованием направлений поляризатора $|\alpha_x \rangle|\beta_x \rangle - |\alpha_y \rangle|\beta_y \rangle$, $|\alpha_x \rangle|\beta_y \rangle - |\alpha_y \rangle|\beta_x \rangle$	0.30
C4. 3 Правильное выражение для $P(\alpha,\beta) = \frac{1}{2} \sin ^{2}(\alpha+\beta)$	0.10
C4. 4 Правильное выражение для $P(\alpha,\beta_{\perp}) = \frac{1}{2} \cos ^{2}(\alpha+\beta)$	0.10
C4. 5 Правильное выражение для $P(\alpha_{\perp},\beta) = \frac{1}{2} \cos ^{2}(\alpha+\beta)$	0.10
C4. 6 Правильное выражение для $P(\alpha_{\perp},\beta_{\perp}) = \frac{1}{2} \sin ^{2}(\alpha+\beta)$	0.10

C5  ^0.50 Обозначим $\sigma_a=1$ когда поляризатор 1 с углом $\alpha$ находит $a$-фотон и $\sigma_a=-1$ когда поляризатор 1 с углом $\alpha_{\perp}$ находит $a$-фотон. Аналогично, $\sigma_{\beta}=1$ или $-1$ обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами $\beta$ или $\beta_{\perp}$ находят $b$-фотон.

Если $E(\alpha,\beta)$ обозначает среднее от $\sigma_a \sigma_b$, то величина $S=|E(\alpha,\beta)-E(\alpha,\beta')|+|E(\alpha',\beta)-E(\alpha',\beta')|$ имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света $S \leq 2$. Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом).

Получите выражение для $S$ и вычислите $S$ для случая $\alpha=\frac{\pi}{4}$,$\alpha'=0$ , $\beta=-\frac{\pi}{8}$, $\beta'=\frac{\pi}{8}$.

Укажите, согласуется ли результат для $S$ с классической теорией.

C5. 1 Верное выражения для $E(\alpha, \beta)$ через $P(\alpha,\beta)$, $P(\alpha,\beta_{\perp})$, $P(\alpha_{\perp},\beta)$, и $P(\alpha_{\perp},\beta_{\perp})$. $E(\alpha, \beta) = \frac{P(\alpha, \beta)+P\left(\alpha_{\perp}, \beta_{\perp}\right)-P\left(\alpha, \beta_{\perp}\right)-P\left(\alpha_{\perp}, \beta\right)}{P(\alpha, \beta)+P\left(\alpha_{\perp}, \beta_{\perp}\right)+P\left(\alpha, \beta_{\perp}\right)+P\left(\alpha_{\perp}, \beta\right)}$	0.30
C5. 2 Верное выражения для $E(\alpha, \beta) = - \cos 2 (\alpha - \beta)$ через $\alpha$ и $\beta$	0.10
C5. 3 Верное выражения для $S = \left|\cos 2(\alpha-\beta)-\cos 2\left(\alpha-\beta^{\prime}\right)\right|+\left|\cos 2\left(\alpha^{\prime}-\beta\right)+\cos 2\left(\alpha^{\prime}-\beta^{\prime}\right)\right| = \sqrt2{2} > 2$ и сравнение с классической теорией (она не работает)	0.10