Для реальных газов уравнение Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$ выполняется приближенно и тем точнее, чем меньше плотность газа и выше его температура. В реальных газах между молекулами действуют силы, причем на близких расстояниях это силы отталкивания, а на больших — притяжения. Одним из простых уравнений, учитывающих взаимодействие молекул, является уравнение состояния Ван-дер-Ваальса:
$$\left(p+\frac{a\nu^2}{V^2}\right)\left(V-\nu b\right)=RT
$$
Где $a$ и $b$ — положительные коэффициенты Ван-дер-Ваальса, которые в этой задаче можно считать постоянными. Член $\frac{a\nu^2}{V^2}$ описывает уменьшение давления газа из-за взаимного притяжения молекул, а $\nu b$ — учитывает конечный размер молекул. Заметим, что уравнение состояния Ван-дер-Ваальса может качественно описывать как поведение газа, так и поведение жидкости.

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса — уравнение третьей степени в координатах ($p$,$V$). На Рис. 1 приведен ряд изотерм одного моля газа Ван-дер-Ваальса. Реальная изотерма отличается от изотермы Ван-дер-Ваальса прямым участком $AB$ с постоянным давлением $p_{LG}$, расположенным по оси объемов между $V_L$ и $V_G$, на котором реализуется равновесие жидкости (обозначенной индексом $L$) и газа (обозначенного индексом $G$). Использовав второе начало термодинамики Дж. Максвелл показал, что давление $p_{LG}$ должно быть выбрано таким образом, чтобы показанные на Рис. 2 площади I и II были одинаковы.
Также, внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса зависит не только от температуры, но и от объема:
$$U=\nu C_V T-\frac{a\nu^2}{V}
$$

$\textit{Примечание:}$ во всех частях задачи используется один моль вещества.

A1  ^0.70 Одним из промышленных способов охлаждения (и последующего сжижения) является адиабатическое и квазистатическое расширение газов. Пусть газ расширяется от начального объема $V_1$ до конечного объема $V_2$. Для газа, подчиняющегося уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, в этом процессе температура падает на $\Delta{T}_W$, а для идеального газа — $\Delta{T}_I.$ Теплоемкость $C_V$ газа Ван-дер-Ваальса принять равной теплоемкости идеального газа $C_V$ при постоянном объеме. Найдите отношение $\Delta{T}_W/\Delta{T}_I$. Выразите ответ через $V_1$, $V_2$, $a$, $b$, $C_V$ и $R$. В каком случае охлаждение больше?

A2  ^0.40 Газ также можно охладить, позволив ему адиабатически расшириться в вакуум. Пусть в начальный момент газ находится в сосуде, занимая в нем объем $V_1$. После удаления перегородки газ получает возможность свободно расшириться до объема $V_2$. Считая сосуд теплоизолированным, найдите изменение температуры для случаев газа Ван-дер-Ваальса $\Delta{T}_W$ и идеального газа $\Delta{T}_I$. Выразите ответ через $V_1$, $V_2$, $a$, $b$, $C_V$ и $R$. В каком случае охлаждение больше?

A3  ^0.90 Газ можно перевести в жидкое состояние, изотермически его сжимая. Однако, для этого газ нужно предварительно охладить ниже определенной температуры $T_C$. Выше этой температуры газ нельзя перевести в жидкость. Используя уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, найдите эту температуру $T_C$. Выразите ответ через $a$, $b$ и $R$.

В 1852 году был открыт эффект, который впоследствии широко применялся в промышленности для охлаждения и сжижения газов. Эффектом Джоуля-Томпсона называется изменение температуры газа при адиабатическом дросселировании — медленном протекании газа под действием постоянного перепада давлений сквозь пористую перегородку (дроссель), как показано на Рис. 3. Слева от дросселя находится газ при давлении $p_1$ (оно поддерживается постоянным), после протекания через дроссель газ давление газа становится равным $p_2

B1  ^0.70 Рассмотрим порцию газа объемом $V_1$, расположенную слева от дросселя. Пройдя через дроссель, эта порция газа занимает объем $V_2$. Используя первый закон термодинамики покажите, что функция $W=U+pV$ (энтальпия) сохраняется в рассматриваемом процессе, то есть ее значения одинаковы для одной и той же порции газа справа и слева от перегородки. Считайте, что теплообмен с окружающей средой отсутствует.

B2  ^0.30 Пусть в процессе Джоуля-Томпсона используется идеальный газ. Найдите понижение его температуры $\Delta{T}_I$. Теплоемкость газа — $C_V$.

В пунктах $\mathrm C$ задачи рассматривается так называемый интегральный эффект Джоуля-Томпсона. Это эффект, который реализуется при больших перепадах давления по разные стороны дросселя. В качестве модели интегрального эффекта можно использовать такую: слева от дросселя газ находится при большом давлении и описывается уравнением состояния Ван-дер-Ваальса, а после прохождения через дроссель газ можно считать идеальным.

C1  ^1.00 Найдите понижение температуры газа $\Delta{T}_W$ в таком процессе. Теплоемкость газа — $C_V$. Выразите ответ через $a$, $b$, $R$, $C_V$, $T_1$ и $V_1$.

C2  ^0.80 Если начальное состояние газа изображать на диаграмме ($T_1$,$V_1$), то на ней можно начертить кривую, которая делит плоскость на две области: точкам одной области соответствует $\Delta{T}_W<0$ (газ охлаждается), а другой $\Delta{T}_W>0$ (газ нагревается). Эта кривая называется кривой инверсии интегрального эффекта Джоуля-Томпсона. Найдите уравнение этой кривой, т.е. выразите $T^l_{inv}$ через $a$, $b$, $R$, $C_V$ и $V_1$. Изобразите кривую на графике, укажите характерные особенности кривой. На графике укажите области, где газ охлаждается и нагревается.

C3  ^1.00 Однако, кривую инверсии эффекта Джоуля-Томпсона удобнее чертить в координатах ($p_1$, $T_1$), т.к. именно эти параметры газа поддаются непосредственному измерению. Найдите уравнение этой кривой, т.е. выразите $T^l_{inv}$ через $a$, $b$, $R$, $C_V$ и $p_1$ (либо $p_1$ через $a$, $b$, $R$, $C_V$ и $T^l_{inv}$). Изобразите кривую на графике, укажите характерные особенности кривой. На графике укажите области, где газ охлаждается и нагревается.

В части $\mathrm D$ задачи рассматривается эффект Джоуля-Томпсона в общем случае. В этом случае газ по обе стороны от перегородки описывается уравнением состояния Ван-дер-Ваальса.
Если газ слева от перегородки находится при температуре инверсии, то при дросселировании температура газа не изменяется.

D1  ^1.00 Получите выражение для температуры инверсии $T_{inv}$ эффекта Джоуля-Томпсона в общем случае. Выразите ее через $a$, $b$, $R$, $C_V$, $V_1$ и $V_2$.

D2  ^0.20 Дифференциальный эффект Джоуля-Томпсона реализуется при малых перепадах давления. Для него можно принять, что $V_1\approx{V_2}$. При этом условии получите выражение для температуры инверсии $T^D_{inv}$ дифференциального эффекта Джоуля-Томпсона. Выразите ее через $a$, $b$, $R$, $C_V$ и $V_1$.

D3  ^1.50 Найдите уравнение кривой инверсии дифференциального эффекта Джоуля-Томпсона, т.е. выразите $T^D_{inv}$ через $a$, $b$, $R$, $C_V$ и $p_1$ (либо $p_1$ через $a$, $b$, $R$, $C_V$ и $T^D_{inv}$). Изобразите схематично кривую на графике ($p_1$, $T_1$), укажите характерные особенности кривой. На графике укажите области, где газ охлаждается и нагревается.

В части $\mathrm E$ рассматривается связь между интегральным и дифференциальным эффектом Джоуля-Томпсона.

E1  ^0.50 Изобразите схематично кривые инверсии для обоих эффектов на одном графике в координатах ($p_1$, $T_1$). Укажите области, где газ охлаждается и нагревается для обоих эффектов. Объясните существование областей, где изменение температуры имеет разный знак для интегрального и дифференциального эффекта.

E2  ^1.00 Для промышленного использования интегрального эффекта Джоуля-Томпсона для определенной температуры $T_1$ важно подобрать такое давление $p_1$, чтобы охлаждение газа в процессе было максимальным. Эти соотношения можно также представить на графике ($p_1$, $T_1$). Изобразите эту зависимость схематично. На том же графике схематично изобразите кривые инверсии для дифференциального и интегрального эффекта на одном графике.