Pho.rs: Фильтры нижних частот

Условие

T Условие

Y16

Электрический ток характеризуется силой тока и его частотой. Иногда на практике при подаче на вход определенного периодического напряжения хочется отсеять некоторые частоты. Схемы, которые позволяют добиться такого результата называются фильтрами. В этой задаче рассмотрите простейший фильтр нижних частот: $RC$-цепь (см.рис).

Часть A. Гармонический сигнал (0.8 балла)

A1 ^0.30 На вход подаётся сигнал с амплитудой напряжения $V_{in}$ с циклической частотой $\omega$. Определите амплитуду напряжения выходного сигнала $V_C$. Выразите ответ через $V_{in}$, $\omega$, $R$, $C$.

A2 ^0.20 Изобразите на графике амплитудно-частотную характеристику выходного сигнала.

A3 ^0.30 Пусть на вход подан сигнал вида $\sum_i V_{in}\sin\omega_it$ (для любого $i$ выполняется условие: $\omega_i<\omega_{i+1}$). Тогда выходной сигнал будет иметь вид $\sum_i V_i\sin\left(\omega_it+\phi_i\right)$. Какая величина больше: $V_i$ или $V_{i+1}$?

Часть B. Одиночный прямоугольный импульс (1.0 балла)

Однако входной сигнал не всегда имеет синусоидальную форму (или форму конечной суммы синусов). В следующей части задачи рассмотрите одиночный прямоугольный импульс (см. рис.2) амплитудой $U$ и продолжительностью $\tau$, поданный на $RC$-цепь.

B1 ^0.80 Рассмотрите короткий «баллистический» импульс ($\tau\ll{RC}$). Каково будет максимальное выходное напряжение $U_{CM}$ в таком процессе? Выразите ответ через $U$, $\tau$, $R$, $C$.

B2 ^0.20 Как изменится максимальное выходное напряжение $U_{CM}$, если амплитуду импульса увеличить вдвое, а продолжительность уменьшить вдвое? Т.е. найдите отношение $U_{CM2}/U_{CM1}$.

Часть C. Периодические прямоугольные импульсы (6.2 балла)

Рассмотрите входной периодический сигнал, состоящий из последовательных коротких прямоугольных импульсов направленных в разные стороны. Период сигнала $T$, амплитуда сигнала $U$, продолжительность импульса $\tau$. Скважностью называется величина $S=2\tau/T$. Введем также безразмерную величину $A=T/RC$.

C1 ^1.00 Изобразите качественно график зависимости выходного сигнала от времени в установившемся режиме.

C2 ^1.50 Определите отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала $U_M/U$. Выразите ответ через $A$ и $S$.

C3 ^0.70 Считая $S\ll{1}$ и $A\gg{1}$ найдите в первом приближении такое $A$, при котором $U_M/U=1/2$. Выразите ответ через $S$.

C4 ^1.00 Методом последовательных итераций найдите $A$, при котором $U_M/U=1/2$, с точностью до четвертой значащей цифры для $S_1=1$; $S_2=0{.}3$; $S_3=0{.}1$; $S_4=0{.}01$; $S_5=0{.}001$.

C5 ^1.00 Изобразите качественно графики зависимости $U_M/U$ от $A$ в логарифмическом масштабе по $A$ при $S_1=1$; $S_2=0{.}3$; $S_3=0{.}1$; $S_4=0{.}01$; $S_5=0{.}001$.

C6 ^1.00 Изобразите качественно графики нормированной зависимости $U_M/(US)$ от $A$ в логарифмическом масштабе по обеим координатам при $S_3=0{.}1$; $S_4=0{.}01$.

Часть D. Прямоугольные импульсы в LC контуре (2.0 балла)

Рассмотрим теперь идеальный $LC$ контур.

D1 ^2.00 В момент $t=0$ контур с собственной частотой $f=100~\text{Гц}$ возбуждается периодической последовательностью прямоугольных импульсов длительностью $\tau=0{.}02~\text{с}$ (Рис. 4). Амплитуда импульсов $U_0=5~\text{В}$. Найдите период следования импульсов $T$ при котором среднее значение напряжения на конденсаторе $U_\text{ср}=2~\text{В}$. Постройте график зависимости $U_C(t)$. Приведите на графике все характерные значения.