В этой задаче мы будем исследовать течение газа в сопле ракетного двигателя, а затем полет ракеты в воздушном пространстве и в пустоте.

Для начала вспомним несколько основополагающих соотношений, описывающих поведение текущих жидкостей или газов.

Часть A. Динамические соотношения для газа (1.0 балла)

A1  ^0.50 Запишите уравнение движения цилиндра. Определите градиент давления $dp/dx$. Ответ выразите через $\rho$, $v$ и $dv/dx$.

A2  ^0.50 Определите величину скорости звука $c$ в газе. Ответ выразите через $p$, $\rho$ и показатель адиабаты $\gamma$.

Часть B. Числа Маха и профиль сопла (2.0 балла)

Для описания течений газа удобно ввести параметр число Маха $M=v/c$, характеризующий отношение локальной скорости течения газа к скорости звука.

Теперь мы перейдем к качественному описанию сопла ракетного двигателя. В ракетном двигателе топливо сгорает в камере сгорания и попадает в сопло. Скорость продуктов сгорания увеличивается на всем протяжении сопла.

Решайте следующие пункты задачи в следующих предположениях:

• газ считается идеальным; 
• газовый поток является изоэнтропным (то есть имеет постоянную энтропию, силы трения и диссипативные потери не учитываются) и адиабатическим (то есть теплота не подводится и не отводится);
• газовое течение является стационарным и одномерным, то есть в любой фиксированной точке сопла все параметры потока постоянны во времени и меняются только вдоль оси сопла, причём во всех точках выбранного поперечного сечения параметры потока одинаковы, а вектор скорости газа всюду параллелен оси симметрии сопла;
• массовый расход газа одинаков во всех поперечных сечениях потока;
• влияние всех внешних сил и полей (в том числе гравитационного) пренебрежимо мало;
• ось симметрии сопла является пространственной координатой $x$.

B1  ^1.00 Обозначим площадь поперечного сечения сопла за $A$. Определите величину $dA/dx$. Ответ выразите через $A$, $v$, $c$ и $dv/dx$.

B2  ^0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{<}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

B3  ^0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{>}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

Часть C. Анализ потока, выходящего из сопла (5.0 балла)

Рассмотрим более подробно процесс течения газа в сопле. Пусть на входе в сопло давление газа $p_c$, температура $T_c$ и плотность $\rho_c$. Показатель адиабаты газа $\gamma$.

C1  ^2.00 Изготавливая ракетный двигатель, задается желаемое давление на выходе из сопла $p$. Найдите скорость истечения газа $v$ из сопла в зависимости от отношения $p/p_c$. Ответ выразите через $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

C2  ^0.40 При каком значении $p'$ скорость истечения из сопла достигает максимального значения? Чему равна эта максимальная скорость $v_\text{max}$? Ответы выразите через $p_c$, $\rho_c$ и $\gamma$.

C3  ^1.10 Как зависит площадь выходного сечения сопла $A$ от желаемого давления на выходе из сопла $p$ (при фиксированных параметрах на входе в сопло)? Т.е. найдите функцию $A(p/p_c)$, считая, что массовый расход в каждом сечении сопла постоянен и равен $\lambda$. Ответ выразите через $\lambda$, $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

C4  ^1.50 Найдите отношение давлений $p_t/p_c$ в особых точках для пунктов B2 и B3. Ответ выразите через показатель адиабаты газа $\gamma$. Такие давления называют критическими.

C5  ^0.70 Для формы сопла, определенной в пункте B3, определите зависимость величины $v/c$ от величины $p/p_c$. Ответ выразите через $\gamma$ и $p/p_c$.
Постройте качественные графики зависимости скорости течения газа $v/c$ вдоль сопла для случаев, когда давление на выходе больше критического ( $p/p_c>p_t/p_c$) и когда давление на выходе меньше критического ($p/p_c{<}p_t/p_c$).

C6  ^0.80 Для формы сопла, определенной в пункте B3, массовый расход газа на выходе из сопла можно представить в виде:
$$\lambda=C(A_\text{вых}{,}\gamma{,}p_c{,}\rho_c)\cdot f(p/p_c){,}
$$
где $C$ — постоянная величина, зависящая только от $A_\text{вых}$, $\gamma$, $p_c$ и $\rho_c$, а $f(p/p_c)$ — функция, зависящая только от отношения $p/p_c$ и $\gamma$.
Определите функцию $f(p/p_c)$. Ответ выразите через $p/p_c$ и $\gamma$.
Постройте качественный график массового расхода $\lambda$ от давления на выходе из сопла ($p/p_c\in[0;1]$). Если на графике имеются особые точки, то укажите их на графике и получите соответствующие им аналитические выражения $p/p_c$.

Часть D. Импульс, приобретаемый ракетой (0.5 балла)

Пусть теперь ракета летит в атмосфере. Атмосферное давление $p_0$, давление газа на выходе из сопла $p$, площадь сопла $A$, массовый расход газа $\lambda$, скорость истечения газов из сопла $v$.

D1  ^0.50 Найдите удельный импульс, приобретаемый ракетой, при полете в атмосфере. Ответ выразите через $p_0$, $p$, $A$ и $v$.
Удельный импульс – это дополнительный импульс, приобретаемый ракетой, при выбросе единицы массы топлива.