Pho.rs: Аналемма

Условие

Y18

Люди древности и средневековья определяли время по положению Солнца на небе, связывали с ним сроки религиозных праздников и распорядок дня. Многие обряды совершались в полдень, который определялся как время, когда солнце занимает наивысшее положение на небосводе. В это время луч солнца, проходящий через отверстие в крыше храма или собора пересекал линию меридиана на полу, указывающую направление «север-юг» (см. рис.). В английском языке сохранились берущие начало в это время латинские обозначения времени до (a.m., ante meridiem) и после полудня (p.m., post meridiem). По угловой высоте солнца в полдень (как и по положению звезд в полночь) путешественники прошлого с помощью специальных астрономических приборов определяли географическую широту судна.

Система отсчета времени, связанная с солнцем, называется «истинным солнечным временем» (ИСВ) - в ней положение солнца определяется по азимуту, соответствующему положению солнца на небесной сфере. При появлении точных механических часов оказалось несложным убедиться, что истинное солнечное время неравномерно – в течение года продолжительность истинных солнечных суток (время между солнечными полуднями) меняется. Так появилась система усредненного солнечного времени (УСВ) – продолжительность суток в такой системе совпадает со средней продолжительностью суток в течение года, отсчет времени идет однородно.

Если в определенный момент синхронизировать усредненное солнечное время
с истинным (в момент солнечной кульминации выставить на механических часах полдень), то в течение года возникнет расхождение между временем, определяемым двумя разными способами: например, солнце в 12:00 по местному времени в разные дни то западнее, то восточнее меридиональной линии. Если в течение года отмечать положение солнечного луча солнца в 12:00, вместо прямой линии получится «восьмерка» (см. рис. 1б). Очевидно, что эта восьмерка связана с положением солнца на небесной сфере, и если, применяя более современные технологии, делать в определенном месте фотографии небосвода с шагом в 12 часов, то солнце в течение года также описывает кривую, имеющую форму «восьмерки» (см. рис.), которую мы будем называть аналеммой.

В задаче предлагается проанализировать различные факторы, влияющие на расхождение между ИСВ и УСВ, оценить его величину и объяснить форму аналеммы. Хотя точный расчет искомого расхождения сложен и приводит к громоздким результатам, на практике это расхождение с хорошей точностью описывается суммой нескольких синусоид, параметры которых мы предлагаем вам найти. Для простоты будем рассматривать не Землю, а другую очень похожу планету (см. рис. 1), вращающуюся вокруг своей оси с периодом в $\tau=24~\text{земных часа}$, год на которой длится $\tau N_0$. Ось собственного вращения планеты образует с нормалью к плоскости орбиты малый угол $\theta$ ($\theta \ll 1$). Считайте его заданным. Также считайте, что задан эксцентриситет $e$.

Рис. 1. Положение $N=0$ в первый день года. Орбита (с эксцентриситетом $e$) и ось вращения (наклоненная под углом $\theta$ к вектору нормали к траектории) гипотетической планеты, рассматриваемой в задаче. Направления вращения планеты вокруг звезды и вокруг собственной оси совпадают (против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса эклиптики).

Будем считать, что в первый день года ($N=0$) планета находится ближе всего к звезде, а ось вращения лежит в плоскости, заданной радиус-вектором «планета-звезда» и нормалью к плоскости траектории. (Для Земли это условие неверно, хотя отклонение и невелико.) Направления вращения планеты вокруг звезды и вокруг своей оси совпадают (против часовой стрелки, если смотреть с «северного» полюса эклиптики). В северном полушарии в начале года день короче ночи.

Рис. 2. Угловая система небесных координат: $\varepsilon$ - высота солнца, $\Delta \lambda$ – азимутальное отклонение от среднего (южного) направления на полуденное солнце.

Рис. 3. Долгота $\lambda$ и широта $\varphi$ некоторой точки на поверхности планеты.

Часть А. Максимальная высота Солнца

A1 ^0.90 Наибольшая угловая высота солнца в течение суток зависит от времени года и от широты, на которой находится наблюдатель. Решите задачу, достойную древнего мореплавателя и найдите коэффициенты $A_0$, $k_0$ и $\phi_0$ в приближенном выражении, описывающем зависимость отклонения этой угловой высоты (рис. 2) от усредненного по всем дням года значения ($N$ – номер дня). Орбиту считайте круговой.
$$\Delta{\varepsilon}=A_0\sin\left(k_0N+\phi_0\right)
$$

A2 ^0.10 Нарисуйте, какую кривую за год описывал бы луч света на полу храма, положения которого замеряются каждый день в 12:00 по ИСВ, отметьте положение сторон света на рисунке. (Стороны света на рассматриваемой планете определяются так же, как и на земле, в соответствии с направлением вращения планеты вокруг своей оси).

Часть B. Эксцентричная орбита при перпендикулярной оси

В части B считайте, что ось планеты перпендикулярна плоскости орбиты ($\theta=0$), а орбита близка к окружности ($0

B1 ^0.10 Укажите, в какой точке орбиты истинные солнечные сутки будут длиннее всего? Короче всего?

B2 ^2.00 На сколько самые длинные истинные сутки длиннее самых коротких?

B3 ^0.60 Считая, что в первый день в году ($N=0$) планета находится ближе всего к звезде, найдите параметры $A_1$, $k_1$ и $\phi_1$ приближенного уравнения, описывающего разницу в продолжительности истинных и усредненных солнечных суток в зависимости от номера дня
в году $N$ ($0\leq{N}\leq{364}$):
$$t_{\text{сут}~\text{ИСВ}}-t_{\text{сут}~\text{УСВ}}=A_1\sin\left(k_1N+\phi_1\right)
$$

B4 ^0.20 Какая разница $\Delta_1(N)$ между ИСВ и УСВ накопится за $N$ дней, если в первый день в году системы были синхронизированы?

B5 ^0.10 Какой величины достигает наибольшее в течение года расхождение между ИСВ и УСВ ($\Delta_{1max}$)?

Часть C. Наклонная ось при круговой орбите

Пусть теперь планета совершает движение по круговой орбите ($e=0$), а ось собственного вращения наклонена от нормали к плоскости траектории на малый угол $\theta$ ($\theta\ll{1}$). Будем считать, что в первый день в году ($N=0$) ось собственного вращения лежит в плоскости, образованной нормалью к плоскости траектории и радиус-вектором, соединяющим центры звезды и планеты. Будем считать, что направления вращения планеты вокруг звезды и вокруг своей оси совпадают (оба движения осуществляются против часовой стрелки, если смотреть с «северного» полюса эклиптики). В северном полушарии в начале года день короче ночи.

C1 ^1.00 Отметим точку на экваторе планеты, в которой звезда в некоторый момент времени находится в зените. Припишем этой точке нулевую долготу $\lambda=0$ и будем следить за точками, для которых звезда будет в зените ровно через 1 сутки УСВ, 2 суток УСВ и т.д. Эти точки образуют на поверхности планеты некоторую кривую, которую можно задать в терминах широты $\varphi$ и долготы $\lambda$ (см. рис. 3). Получите формулу этой кривой.

C2 ^0.20 Пусть в некоторый момент при построении кривой, описанной в пункте $\mathrm C1$, в точке с долготой $\lambda$ звезда оказалась в зените. Найдите $\Delta{\lambda}/\Delta{t}$, где $\Delta{\lambda}$– изменение долготы точки за время $\Delta{t}$ равное одним суткам.

C3 ^1.50 Найдите параметры $A_2$, $k_2$ и $\phi_2$ приближенного уравнения, наилучшим образом описывающие разницу между продолжительностью истинных и усредненных солнечных суток на такой планете:
$$t_{\text{сут}~\text{ИСВ}}-t_{\text{сут}~\text{УСВ}}=A_2\sin\left(k_2N+\phi_2\right)
$$

C4 ^0.20 Какая разница $\Delta_2(N)$ между ИСВ и УСВ накопится за $N$ дней, если в первый день в году обе системы были синхронизированы?

C5 ^0.10 Какой величины $\Delta_{2max}$ достигает наибольшее в течение года расхождение между ИСВ и УСВ?

Часть D. Комбинация вкладов

В части D для простоты будем считать, что вклады от наклона оси и от эллиптичности орбиты в угловые координаты солнца на небесной сфере (см. рис.) складываются.

D1 ^1.00 Получите зависимости обеих угловых координат солнца $\varepsilon(N)$ и $\Delta{\lambda}(N)$ в полдень по УСВ (12:00) от номера дня в году $N$ на широте $\varphi$.

D2 ^1.00 Схематично нарисуйте в угловых координатах небесной сферы $\varepsilon$ и $\Delta{\lambda}$ (с точностью до константы) аналеммы для случаев, описанных в частях B и C.

D3 ^0.20 С помощью рисунков и формул опишите метод, позволяющий из параметров аналеммы определить $e$ и $\theta$.

На рис.4 ниже приведены аналеммы четырёх планет. По горизонтальной и вертикальной осям отложены $\Delta{\lambda}$ и $\varepsilon$ в градусах, соответственно.

Рис. 4.

D4 ^0.80 Определите числовые значения $e$ и $\theta$ для планет, аналеммы которых приведены на рисунке, а также укажите, на каких широтах $\varphi$ проводились измерения приведенных кривых (все измерения проводились в северном полушарии). По горизонтальной и вертикальной осям отложены $\Delta \lambda$ и $\varepsilon$ в градусах соответственно.