Сверхтекучесть $^3\rm He$ была открыта в 1972 г. – с тех пор явление широко исследовалось, и современная теория хорошо описывает свойства чистого сверхтекучего $^3\rm He$.
Сверхтекучесть $^3\rm He$ c примесями – важная задача современной физики, но ее решение осложняется тем, что изначально сверхтекучий $^3\rm He$ — очень чистое вещество. При температурах порядка $1~\text{мК}$, когда $^3\rm He$ становится сверхтекучим, все примеси вымерзают, а изотоп $^4\rm He$ уже практически не растворяется в $^3\rm He$. Решить эту проблему экспериментально стало возможно с помощью аэрогелей – особых веществ с высокой пористостью ($\sim{98\text{%}}$). В таких экспериментах частицы аэрогеля играют роль примесей, на которых рассеиваются частицы $^3\rm He$.
Аэрогель представляет собой твердое вещество из переплетенных тонких нитей. Расстояние между нитями много больше их диаметра. При этом, деформируя аэрогель, можно добиться того, что нити выстроятся вдоль одной прямой. Такое выравнивание делает материал анизотропным. Анизотропия аэрогеля заметна невооруженным глазом (см. рис. 1).

Рассмотрите двумерное движение атомов $^3\rm He$ в плоскости, перпендикулярной оси аэрогеля. Образец аэрогеля можете считать бесконечным, радиус нитей $r=1~\text{нм}$, а их «концентрация» в расчете на единицу площади $n=10^{-4}~\text{нм}^{-2}$. Можно считать, что нити неподвижны и расположены случайным образом. Размером атомов $^3\rm He$ можно пренебречь, соударения атомов о нити аэрогеля считать абсолютно упругими – атомы $^3\rm He$ сохраняют величину скорости $v=500~\text{м}/\text{с}$ при соударении, а изменение направления движения задается геометрическим законом отражения. Взаимодействием между атомами гелия можно пренебречь.
Рассмотрим $N=10^{10}$ $^3\rm He$, положения и направления движения которых в начальный момент выбраны случайным образом.

A1  ^1.00 Сколько $F_1(t)$ атомов $^3\rm He$ успевает хотя бы один раз столкнуться с нитями аэрогеля за время $t\in{\left[1~\text{фс}; 1~\text{пс}\right]}$? Вычислите $F_1(10~\text{фс})$

A2  ^1.00 Сколько $G(t)$ столкновений в среднем испытывает атом $^3\rm He$ за время $t$?

A3  ^1.00 Сколько $F_2(t)$ атомов $^3\rm He$ ни разу не столкнется с нитями аэрогеля за время $t\in{\left[1~\text{фс}; 0.1~\text{мкс}\right]}$? Вычислите $F_2(10~\text{нс})$.

A4  ^2.00 Какое количество $S(\phi,\Delta\phi)$ атомов $^3\rm He$ при первом столкновении изменит направление скорости на угол $\alpha\in{\left[\phi; \phi+\Delta{\phi}\right]}$, где $\Delta{\phi}\in{\left[10^{-5}{;}10^{-3}\right]}$, $\phi\in{\left[10^{-1}-\pi;10^{-1}\right]\cup\left[10^{-1}{;}\pi-10^{-1}\right]}$. Считайте угол положительным при изменении направления против часовой стрелки. Вычислите $S(\pi/2,10^{-4})$.

A5  ^1.00 Какое среднее расстояние $\langle \lambda\rangle$ пройдет атом $^3\rm He$ до первого столкновения с нитью аэрогеля? Приведите формулу и численный ответ.

A6  ^1.00 Каков средний квадрат этого расстояния $\langle\lambda^2\rangle$? Приведите формулу и численный ответ.

A7  ^3.00 Каков средний квадрат смещения $\langle r^2\rangle$ атома $^3\rm He$ за время $t\in{\left[1~\text{мкс}; 1~\text{мс}\right]}$ с момента запуска? Вычислите $\langle{r}^2\rangle(10~\text{мкс})$.

Приставки: фемто – $10^{-15}$, пико – $10^{-12}$, нано – $10^{-9}$, микро – $10^{-6}$, милли – $10^{-3}$.