Часть А. Фазовая и групповая скорость

Колебания и волны - один из самых интересных и распространенных разделов физики.
Волновые процессы встречаются во всех областях и в механике, и в термодинамике, и в электродинамике, а оптика целиком является наукой о волнах. В этой задаче мы рассмотрим знакомые всем корабельные волны, обладающие некоторыми очень интересными и неочевидными особенностями.
Однако, сначала рассмотрим общие свойства волн. Простейшим типом волн, распространяющихся в линейной среде, являются плоские монохроматические волны - то есть волны с конкретной частотой и длиной волны. Зависимость их амплитуды от времени и координаты (пока рассматриваем одномерный случай) описывается следующим образом:
$$A(t{,}x)=A_0\cos\theta=A_0\cos(kx-\omega t+\varphi_0)
$$

A1  ^1.00 Найдите скорость распространения постоянной фазы монохроматической волны (фазовая скорость).

Однако, в реальности чистые монохроматические волны никогда не существуют. На самом деле волны распространяются в волновых пакетах – суперпозицией многих волн близких частот. Волновой пакет в отличие от монохроматической волны локализован в некоторой области пространства и распространяется не с фазовой, а с так называемой групповой скоростью. Групповая скорость обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета. Для примера, рассмотрим волновой пакет из двух близких по частоте и волновому вектору монохроматических волн:
$$A(t{,}x)=A_0\cos(k_1x-\omega_1t-\varphi_1)+A_0\cos(k_2x-\omega_2t-\varphi_2)
$$

A2  ^1.00 Предполагая, что существует некоторая функциональная зависимость $\omega(k)$, найдите групповую скорость через эту функцию в точке $k\approx{k_1}\approx{k_2}$.

Вышеупомянутая функция $\omega(k)$ называется дисперсионным соотношением для волн определенного типа и именно она полностью определяет их поведение. Именно поэтому исследование любых линейных волн начинается с нахождения этой зависимости.

Часть В. Дисперсионное соотношение для волн на воде

B1  ^1.00 Найдите скорость распространения волны $v_{ph}$, если глубина воды $h$.

Если глубина воды много больше длины волны $\lambda$, то эффективно вода движется только в слое толщиной $\lambda/2\pi$.

B2  ^1.00 Найдите скорость распространения волны на глубокой воде. Найденная скорость является фазовой скоростью волны.

Теперь, зная фазовую скорость волны в зависимости от длины волны, мы можем легко найти дисперсионное соотношение $\omega(k)$, а из него, с помощью результата B2, и групповую скорость волн.

B3  ^1.00 Найдите дисперсионное соотношение и групповую скорость волн на мелкой воде $v_g(k)$.

B4  ^1.00 Найдите дисперсионное соотношение и групповую скорость волн на глубокой воде $v_g(k)$.

Часть С. Угол расхождения корабельных волн

Легко заметить, что для волн на глубокой воде соблюдается замечательное соотношение $v_g=v_{ph}/2$ для волн с любой длиной волны. Это приводит к интересным эффектам. Рассмотрим обычные корабельные волны, которые каждый мог наблюдать. Известно, что они образуют конус по границам которого бегут волны. Для излучателей, движущихся со скоростью выше скорости распространения волн в среде с линейной дисперсией, широко известен эффект образования маховского конуса с углом раствора $\arcsin(c/v)$.

C1  ^1.00 Найдите соотношение между фазовой скоростью и скоростью источника, если он должен оставаться в точке постоянной фазы волны.

Представьте, что в некоторый момент времени источник излучил широкий спектр волн. Рассмотрим цуг с узким спектром, такой, что его фазовая скорость соответствует распространению под углом $\psi$.

C2  ^1.00 Найдите точку в которой будет находиться цуг через время $dt$.

C3  ^1.00 Найдите геометрическое место точек для цугов, испущенных под всевозможными углами.

Теперь представьте, что такие «элементарные волны» из пункта C3 испускаются в каждый момент времени.

C4  ^1.00 Найдите угол раствора конуса, который ограничивает все распространяющиеся волны