Pho.rs: Максвелл, Релей и гора Эверест

Условие

Лорд Релей посетил город Дарджилинг в Индии в 1897 г. Глядя на гору Эверест на расстоянии $170~км$, он вспомнил о вопросе про затухание света в воздухе и видимость далеких пиков, который Джеймс Максвелл задавал на 26 лет раньше. Два года спустя, в 1899, лорд Релей опубликовал знаменитую статью, в которой исследовал эту проблему. В задаче мы постараемся воссоздать современную версию рассуждений Релея.

Представим нейтральную молекулу воздуха как неподвижный положительный заряд $q$, окруженный сферически симметричным однородным заряженным облаком массы $m$, радиуса $r$ с зарядом $-q$. Собственная (циклическая) частота колебаний молекулы $\omega_0$. Под действием падающего света отрицательно заряженное облако колеблется, сохраняя сферическую форму, с циклической частотой $\omega$: \[y=y_0 \cos(\omega t),\] Поле падающей световой волны: \[\vec{E}(t)=E_0 \cos(\omega t) \hat{y}.\] Здесь $y$ обозначает расстояние между неподвижным положительным зарядом и центром отрицательно заряженного облака молекулы.

A1 Запишите уравнения движения для $y$. Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна $E(t)\,q/m$.

A2 Используя приведенную выше информацию и решая уравнение для $y$, найдите амплитуду колебаний.

A3 Найдите дипольный момент $p(t)$ молекулы воздуха как функцию времени в случае $\omega \ll \omega_0 $.

A4 Получите выражение для $\omega_0$ через $q$, $m$ и $r$.

Диполь с синусоидальной зависимостью дипольного момента от времени излучает электромагнитные волны. Мощность излучения зависит от амплитуды дипольного момента $p_0 = q y_0$, электрической постоянной $\epsilon_0$, скорости света $c$, и частоты колебаний $\omega$.

B1 Используя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность $s$ через приведенные выше величины.

B2 Коэффициент пропорциональности равен $1/12 \pi$. Выразите ответ для излучаемой мощности $s$ через $E_0$, $\omega_0$, $\omega$ и другие величины. Примите $\omega \ll \omega_0 $.

Интенсивность электромагнитной волны равна $1/2c\epsilon_0 E_0^2$. Эта интенсивность уменьшается вдоль светового луча, поскольку мощность $S = n_0 s $ рассеивается в единице объема. Здесь $n_0$ — количество молекул в единице объема.

C1 Запишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности $I(x)$.

C2 Получите выражение для интенсивности $I(x)$ как функции $x$ через характерное расстояние $L$, на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна $I_0$.

C3 Пусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите:

$n_0 = 2.54 \cdot 10^{25}~м^{-3}$,
$\omega_0 = 1.25\cdot 10^{16}~рад \cdot с^{-1}$,
$\omega=3.25 \cdot 10^{15}~рад \cdot с^{-1}$.

Получите численное значение $L$ в километрах.

D1 На рисунке точка $P$ обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте $h=2042~м$ над уровнем моря. Линия $BS$ обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии $d=170~км$ от Дарджилинга, а высота равна $H=8848~м$. Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии $75~км$ от Дарджилинга, ее высота $8586~м$. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот $H'$ этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли $R$ равен $6378~км$.

Рисунок

E1 Примите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет $5\%$ или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга.

F1 Выше мы нашли характерную длину затухания $L$, связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания $L_{p}$ связанную с рассеянием частицами аэрозоля
(загрязнение). $L_{p}$ зависит от концентрации $n$ частиц и от площади сечения $\pi r^2$ частицы аэрозоля радиуса $r$. Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной $1/8$. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна $\rho_p = 5~мкг/м^3$, а средний радиус частиц равен $500$ нанометров. Чему равна длина $L_p$? Пусть плотность одной частицы аэрозоля $\rho = 3~г/см^3$.

Примечание:
$1~мкг=10^{-9}~кг$ и $1~нм=10^{-9}~м$.

G1 Оцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет.