Лорд Релей посетил город Дарджилинг в Индии в 1897 г. Глядя на гору Эверест на расстоянии 170 км, он вспомнил о вопросе про затухание света в воздухе и видимость далеких пиков, который Джеймс Максвелл задавал на 26 лет раньше. Два года спустя, в 1899, лорд Релей опубликовал знаменитую статью, в которой исследовал эту проблему. В задаче мы постараемся воссоздать современную версию рассуждений Релея.
Представим нейтральную молекулу воздуха как неподвижный положительный заряд \(q\), окруженный сферически симметричным однородным заряженным облаком массы \(m\), радиуса \(r\) с зарядом \(- q\). Собственная (циклическая) частота колебаний молекулы \(\omega_0\). Под действием падающего света отрицательно заряженное облако колеблется, сохраняя сферическую форму, с циклической частотой \(\omega\):
$$y=y_0 \cos(\omega t),$$
Поле падающей световой волны:
$$\vec{E}(t)=E_0 \cos(\omega t) \hat{y}.$$
Здесь \(y\) обозначает расстояние между неподвижным положительным зарядом и центром отрицательно заряженного облака молекулы.
Диполь с синусоидальной зависимостью дипольного момента от времени излучает электромагнитные волны. Мощность излучения зависит от амплитуды дипольного момента \(p_0 = q y_0\), электрической постоянной \(\epsilon_0\), скорости света \(c\), и частоты колебаний \(\omega\).
Интенсивность электромагнитной волны равна $\frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$. Эта интенсивность уменьшается вдоль светового луча, поскольку мощность $S = n_0 s $ рассеивается в единице объема. Здесь \(n_0\) — количество молекул в единице объема.
$$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\
\omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\
\omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$
Получите численное значение $L$ в километрах.
Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\).