В этой задаче рассмотрим, как происходит замедление и посадка выведенного из эксплуатации космического шаттла, показанного на рисунке 1.
Процесс возвращения шаттла на Землю можно разделить на следующие этапы:
$\it1)$ На шаттле на несколько минут включается двигатель, придающим ему импульс против движения, и он выходит на эллиптическую орбиту, вводящую его в атмосферу;
$\it2)$ Шаттл входит в атмосферу на высоте около $120\ км$ со скоростью $7.6\ \cfrac{км}с$ под углом $40^\circ$ к горизонту;
$\it3)$ На высоте около $70\ км$ при скорости $6.7\ \cfrac{км}с$ оболочка шаттла разогревается до максимальной температуры;
$\it4)$ На высоте $55\ км$ при скорости $3.7\ \cfrac{км}с$ угол, под которым шаттл движется к горизонту, начинает уменьшаться;
$\it5)$ Шасси выпускаются на скорости $430\ \cfrac{км}ч=120\ \cfracмс$, шаттл приземляется на скорости $346\ \cfrac{км}ч=96\ \cfracмс$.
В момент времени $t$ шаттл массой $m$, движущийся со скоростью $v$, выбрасывает газ в направлении движения со скоростью $u$ относительно шаттла с массовым расходом $-\cfrac{\mathrm dm}{\mathrm dt}$.
Обозначим начальные и конечные массу и скорость шаттла как $m_i$, $v_i$ и $m_f$, $v_f$ соответственно.
Когда шасси касаются земли, у шаттла раскрывается тормозной парашют диаметром $12\ м$, как показано на рисунке 2. Парашют закрывается по достижении шаттлом скорости $110\ \cfrac{км}ч$.
После соприкосновения со взлётно-посадочной полосой и до закрытия парашюта скорость шаттла меняется по закону:\[v(t)=\frac a{bt+1},\]где $t$ – время с момента раскрытия парашюта, а $a$ и $b$ – известные постоянные. Пусть $v_i$ и $v_f$ – начальная и конечная скорости шаттла соответственно, $m$ – масса шаттла, а $\tau$ – время закрытия парашюта.
Сила сопротивления воздуха, действующая на шаттл, равна:\[f=\frac12C\rho Sv^2,\]где $C$ – коэффициент лобового сопротивления, $\rho$ – плотность воздуха, а $S$ – сечение парашюта. Для рассматриваемого шаттла $C=1.42$, $m=78\,000\ кг$, плотность воздуха $\rho=1.225\ \cfrac{кг}{м^3}$.
