Рассмотрим пузырёк с воздухом радиусом $R$, погруженный в воду плотности $\rho$. В равновесном состоянии давление внутри и снаружи пузырька $p_0$, если не учитывать поверхностное натяжение воды. Считайте воздух идеальным двухатомным газом. После небольшого возмущения пузырёк начинает радиально колебаться с некоторой частотой. Последующие шаги помогут вам найти эту частоту. Это можно сделать, представив потенциальную энергию колеблющегося пузырька как $Ax^2$, a кинетическую энергию как $B\left(dx/dt\right)^2$, где $x$ – малое изменение радиуса. Тогда частота будет равна $\omega=\sqrt{A/B}$.

A1  ^0.70 Найдите возвращающую силу давления, действующую на малую площадь $dS$ поверхности пузырька, при адиабатическом изменении его радиуса от $R$ до $R+x$, ($x\ll{R}$).

A2  ^1.00 Найдите энергию, необходимую для изменения $x$ от $0$ до некоторого малого значения $x_0$.

A3  ^1.00 Радиальная скорость воды у поверхности пузырька равна $dx/dt$. Учитывая, что вода несжимаема, найдите радиальную скорость воды на расстоянии $r$ ($r>R$) от центра пузырька.

A4  ^1.00 Найдите полную кинетическую энергию воды.

A5  ^0.50 Если пренебречь массой воздуха, кинетическая энергия, найденная в предыдущем пункте, и будет кинетической энергией колеблющегося пузырька. Найдите частоту колебаний.

Теперь учтем влияние поверхностного натяжения. Коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ определяется как энергия, необходимая для создания поверхности единичной площади ($W=\sigma S$).

B1  ^0.20 Найдите вклад поверхностного натяжения в энергию, необходимую для создания в воде пузырька радиуса $R$.

B2  ^1.60 Найдите частоту колебаний пузыря, учтя влияние поверхностного натяжения воды. Давление снаружи пузырька считайте равным $p_0$.