Pho.rs: Циклоида

Условие

A. Колебания на циклоиде.

B. Брахистохрона.

В этой задаче мы рассмотрим свойства движения по $\itциклоиде$. Циклоида представляет собой кривую, вдоль которой движется фиксированная точка колеса при его качении без проскальзывания (дуга $OAB$ на рис. $\it1$).

Рис. 1

Часть A. Колебания на циклоиде.

Пусть показанное на рисунке $\it1$ колесо имеет радиус $R$ и вращается с угловой скоростью $\omega$.

A1 Найдите координаты $x(t)$, $y(t)$ точки $P$.

A2 Найдите длину $s(t)$ дуги циклоиды от точки $O$ до $P$ и полную длину кривой $OAB$.

A3 Выразите $y$ как функцию $s$.

A4 Выразите $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ вдоль циклоиды через $y$.

Как показано на рисунке $\it2$, вдоль перевёрнутой циклоиды $OAB$ может двигаться небольшое тело массой $m$. Считайте, что движение происходит без трения. Ускорение свободного падения равно $g$.

Рис. 2

A5 Найдите скорость $v$ тела в точке с координатой $y$, если в вершине циклоиды $A$ тело имеет скорость $v_0$.

A6 Подставив в полученное выражение зависимость $y$ от $s$, найдите тангенциальную компоненту ускорения тела $a=\cfrac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}$.

A7 Считая, что $s$ изменяется со временем гармонически, получите выражение для периода колебаний $T$ тела вокруг вершины циклоиды $A$.

Особенность движения по циклоиде заключается в том, что его период не зависит от амплитуды, и колебания всегда остаются в точности гармоническими.

Часть B. Брахистохрона.

В этой части задачи мы выясним, по какой траектории должно двигаться тело, чтобы переместиться из одной точки в другую под действием силы тяжести за наименьшее время (такая траектория называется $\itбрахистохроной$). К примеру, в отсутствие гравитации брахистохроной будет прямая линия.

Рассмотрим сначала ситуацию, показанную на рисунке $\it3$. Пусть в области $y > 0$ тело движется со скоростью $v_1$, а в области $y < 0$ – со скоростью $v_2$. Тело перемещается из точки $P_1$ в точку $P_2$ за кратчайшее время, пересекая плоскость $y=0$ в точке $P$.

Рис. 3

B1 Найдите связь между скоростями тела $v_1$ и $v_2$ и углами падения $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Таким образом, мы получили связь между скоростью тела и углом к вертикали, под которым оно движется по брахистохроне.

Пусть тело начинает двигаться по брахистохроне из состояния покоя из точки $O$ и приходит в точку $y=y_0\ (y_0 < 0)$. Скорость тела в точке $y=y_0$ направлена горизонтально.

B2 Получите выражение для $\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ через $y$ для траектории тела.

Отсюда ясно, что брахистохрона в однородном поле представляет собой циклоиду.

Теперь рассмотрим движение тела под действием силы тяжести в тоннеле, соединяющем точки $A$ и $B$, расположенные на одной горизонтали (см. рис. $\it4$). Снова будем считать, что на тело не действует сила трения. Ускорение свободного падения $g=9.8\ \cfracм{с^2}$. Выясним, при какой форме тоннеля это движение происходит за кратчайшее время.

Рассмотрим сначала простейший случай прямоугольного туннеля, показанного на рисунке $\it4$. Тело начинает движение из состояния покоя из точки $A$. В точках $C$ и $D$ направление скорости меняется без изменения её модуля.

Рис. 4

B3 Выразите время $T$, необходимое для достижения телом точки $B$, через $h$ и $L$.

B4 Найдите, при каком $h$ это время будет минимальным $T_\mathrm m$. Найдите $h$ и $T_\mathrm m$ численно при $L=500\ км$.

Пусть теперь тоннель имеет форму циклоиды, как показано на рисунке $\it5$.

Рис. 5

B5 Найдите время $T_\min$, за которое тело перемещается из точки $A$ в точку $B$. Выразите ответ через $L$. Найдите $T_\min$ численно при $L=500\ км$.

Пусть теперь из точки $A$ и из ближайшей к ней точки, находящейся на половине максимальной глубины тоннеля, отпускают из состояния покоя два одинаковых тела ($\bf1$ и $\bf2$ соответственно).

B6 В какой точке тела $\bf1$ и $\bf2$ столкнутся? Если столкновение было абсолютно упругим, на какую максимальную высоту поднимется в дальнейшем тело $\bf2$?