Pho.rs: Фотонные датчики

Условие

A. Внутренний фотоэффект.

B. Комптоновское рассеяние.

C. Детектирование $\gamma$-квантов.

Часть A. Внутренний фотоэффект.

При попадании электромагнитной волны на поверхность металла электроны, связанные с кристаллической решёткой, могут вылететь из твёрдого тела $\big($см. рис. $\it1(a)\big)$. Такое явление называют (внешним) $\itфотоэффектом$, а покидающие при этом металл электроны – $\itфотоэлектронами$. Количественное описание фотоэффекта состоит в предположении, что для выбивания электрона из металла необходимо затратить минимальную работу $W$, называемую $\itработой$ $\itвыхода$. Фотоэффект можно наблюдать, только когда энергия фотона $E_\gamma=h\nu$ превышает работу выхода (здесь $h=6.626\cdot10^{-34}\ Дж\cdotс$ – постоянная Планка, а $\nu$ – частота электромагнитного излучения). Максимальная кинетическая энергия выбитого электрона тогда даётся выражением\[E_M=h\nu-W.\]

Рис. 1

Как следует из специальной теории относительности, кинетическая энергия электрона $E_K$ выражается через его импульс $p$ как\[E_K=c\sqrt{p^2+m^2c^2}-mc^2,\]где $m$ – масса электрона. Ясно, что при энергиях фотона $h\nu < W$ фотоэффект наблюдаться не может.

A1 Может ли фотоэффект возникнуть при попадании видимого света на поверхность металла с $W=5.7\ эВ\ (1\ эВ=1.602\cdot10^{-19}\ Дж)$?

A2 Фотоны – безмассовые частицы, поэтому для них справедливо $E_\gamma=cp_\gamma$. Выразите импульс фотона $p_\gamma$ через его длину волны $\lambda$.

Среди полупроводников выделяют так называемые $\itсобственные$ проводники, которые отличаются очень низким содержанием примесей и очень большим сопротивлением по сравнению с металлами. Однако оказывается, что под воздействием электромагнитных волн через такие полупроводники может протекать ток. Это происходит за счёт "выбивания" фотонами связанных электронов в атомах. Если выбитые электроны могут двигаться только в толще вещества, то такое явление называют $\itвнутренним$ фотоэффектом. Для максимальной кинетической энергии $E_M$ фотоэлектронов справедливо соотношение:\[E_M=h\nu-E_g,\]похожее на уравнение для обычного фотоэффекта. Здесь $E_g$ – так называемая $\itэнергетическая$ $\itщель$, определяемая природой самого полупроводника. При энергиях фотонов, меньших энергетической щели, внутренний фотоэффект возникать не может.

A3 Найдите максимальное значение $p_M$ импульса фотоэлектронов, возникающих при облучении собственного полупроводника с энергетической щелью $E_g$ светом частоты $\nu$.

Часть B. Комптоновское рассеяние.

Помимо поглощения веществом, фотоны могут также и рассеиваться при столкновении с заряженными частицами, как показано на рисунке $\it1(b)$. Такое рассеяние называют комптоновским, а электроны, рассеянные в результате столкновения, становятся электронами проводимости. Когда в комптоновском рассеянии участвует $\gamma$-квант, энергия которого много больше энергии покоя электрона, из закона сохранения энергии можно записать примерно\[E_\gamma=E'_\gamma+E'_e,\]где $E_\gamma$ и $E'_\gamma$ -- энергия $\gamma$-кванта до и после столкновения, а $E'_e$ -- энергия рассеянного электрона. Точно так же относительно малым можно считать и начальный импульс электрона, и закон сохранения импульса примет вид\[\vec p_\gamma=\vec p'_\gamma+\vec p'_e.\]

B1 Найдите энергию $\gamma$-кванта $E'_\gamma$ и электрона $E'_e$ после столкновения, если угол рассеяния фотона равен $\theta\ \big($см. рис. $\it1(a)\big)$. Выразите ответ через $\theta$ и $E_\gamma$.

Часть C. Детектирование $\gamma$-квантов.

Так как энергия $\gamma$-квантов очень велика, фотоэлектроны в дальнейшем будут лавинообразно выбивать электроны в других атомах $\big($см. рис. $\it2(a)\big)$. Области в полупроводнике, в которых отсутствует связанный электрон, называются дырками и ведут себя в толще вещества подобно положительным зарядам. В результате, как показано на рисунке $\it2(b)$, в полупроводнике образуется достаточно большое число электронов проводимости и дырок, чтобы по нему протекал ток при подаче напряжения. Таким образом, устройство на рисунке $\it2(b)$ функционирует как фотонный датчик. Измеряя фототок, можно найти начальную энергию $\gamma$-кванта.

Рис. 2

Для простоты предположим, что для образования пары электрон–дырка требуется энергия $0.72\ эВ$. Датчик поглощает фотон с энергией $122\ кэВ$, и вся эта энергия расходуется на образование таких пар. Элементарный заряд $e=1.6\cdot10^{-19}\ Кл$.

C1 Найдите, какой заряд $q$ пройдёт через сечение полупроводника под действием фототока.

На рисунке $\it3$ каждый серый квадрат представляет собой изолированный от остальных фотонный датчик. После того, как фотон попадает в датчик $A$, он рассеивается на одном из электронов. Энергия $E'_e$ электрона после столкновения измеряется по фототоку в датчике $A$, а энергия $E'_\gamma$ фотона измеряется в датчике $B$, где он поглощается полностью. Из этих двух значений энергии уже несложно получить выражение для угла рассеяния $\theta$.

Рис. 3

C2 Выразите $\cos\theta$ через энергии $E'_e$ и $E'_\gamma$.

C3 Если известны положения датчиков $A$ и $B$ и измерено значение $\cos\theta$, то откуда изначально мог двигаться фотон? Изобразите множество направлений прилёта фотона при $\theta=30^\circ$.

Если $\gamma$-излучение испускается из одной точки и всегда рассеивается под постоянным углом $\theta$, то направление на источник можно определить по трём вышеописанным наблюдениям. На рисунке $\it4$ точки $A_1$, $A_2$ и $A_3$, в которых фотон попал в первый слой датчиков, наложены на точку $A$, а точки $B_1$, $B_2$ и $B_3$ обозначают соответственно точки, в которых было зарегистрировано рассеянное $\gamma$-излучение. Оказалось, что $AB_1B_2B_3$ – правильный тетраэдр.

Рис. 4

C4 Найдите направление на источник $\gamma$-лучей. Поясните свой ответ.