Атомно-силовые микроскопы (АСМ) — эффективные инструменты в области науки, которая занимается нанообъектами. Движение кантилевера АСМ можно отслеживать с помощью фотодетектора, который регистрирует луч лазера, отраженный от кантилевера (Рис. 1). Кантилевер может двигаться только по вертикали и его смещение $z$ как функция от времени $t$ может быть описано уравнением $$ m \frac{d^2 z}{dt^2} + b \frac{dz}{dt} + kz = F, $$ где $m$ — масса кантилевера, $k=m\omega_0^2$ — коэффициент упругости кантилевера, $b$ — коэффициент затухания, который удовлетворяет соотношениям $\omega_0 \gg (b/m) > 0$, $F$ — внешняя сила, действующая на кантилевер со стороны пьезовибратора.
A1 1.50 Пусть $F = F_0 \sin \omega t$, тогда решение дифференциального уравнения, приведенного выше, может быть записано как $z(t) = A \sin (\omega t - \varphi)$, где $A> 0$, $0 \le \varphi \le \pi$. Получите выражения для амплитуды $A$ и тангенса фазы $\operatorname{tg} \varphi$. Выразите их через параметры $F_0$, $m$, $\omega$, $\omega_0$ и $b$. Получите $A_r$ и $\varphi_r$ на резонансной частоте $\omega = \omega_0$.
A2 1.00 Синхронный усилитель, показанный на рисунке, умножает входной сигнал на опорный сигнал, $V_R=V_{R0}\sin\omega t$, а затем пропускает только постоянную компоненту результирующего сигнала. Пусть входной сигнал описывается уравнением $V_i=V_{i0}\sin(\omega_i t-\varphi_i)$. Здесь $V_{R0}$, $V_{i0}$, $\omega_i$ и $\varphi_i$ — заданные положительные константы. Получите условие на $\omega$ ($> 0$) для того чтобы существовал отличный от нуля выходной сигнал. Какова величина выходного сигнала $V_{out}$ при этой частоте?
A3 1.50 Когда сигнал проходит через фазовращатель, опорный сигнал $V_R=V_{R0}\sin\omega t$ становится таким: $V_R'=V_{R0}\sin(\omega t+\pi/2)$. Когда $V_R'$ подается на пьезовибратор, он действует на кантилевер с силой $F=c_1V_R'$. Затем фотодетектор преобразует смещение кантилевера $z$ в напряжение $V_i=c_2 z$, где $c_1$ и $c_2$ — константы. Найдите величину постоянной компоненты выходного сигнала $V_{out}'$ при $\omega=\omega_0$.
A4 2.00 Небольшое изменение массы $\Delta m$ кантилевера изменяет резонансную частоту на $\Delta \omega_0$. В результате фаза $\varphi$ на исходной резонансной частоте $\omega_0$ сдвигается на $\Delta\varphi$. Каким должно быть изменение массы, чтобы фаза сдвинулась на $\Delta \varphi = \pi /1800$ (это типичная чувствительность прибора при измерении фазы)? Параметры кантилевера: $m = 1.0 \cdot 10^{-12}~\text{кг}$, $k = 1.0~\text{Н}/\text{м}$ и $b/m = 1.0 \cdot 10^{3}~\text{с}^{-1}$. Примечание: $(1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$ и $\operatorname{tg} (\pi/2 + x) \approx - 1/x$ (при $|x| \ll 1$).
Пусть теперь на кантилевер действуют дополнительные силы (вдобавок к силе пьезовибратора), например, со стороны образца, как показано на рисунке.
B1 1.50 Если дополнительная сила $f(h)$ зависит только от расстояния $h$ между кантилевером и поверхностью образца, то можно найти новое положение равновесия $h_0$. В окрестности $h=h_0$ можно записать $f(h) = f(h_0) + c_3(h - h_0)$, где $c_3$ — константа. Найдите новую резонансную частоту $\omega_0'$. Выразите ее через $\omega_0$, $m$ и $c_3$.
B2 2.50 При сканировании поверхности образец двигается горизонтально. Игла кантилевера, несущая заряд $Q=6e$, проходит вблизи электрона с зарядом $q=e$, который находится на каком-то расстоянии под поверхностью (электрон, находящийся в потенциальной яме, локализован в пространстве). Во время сканирования вокруг электрона, максимальное смещение резонансной частоты $\Delta\omega_0$ ($= \omega_0^\prime - \omega_0$). Найдите расстояние $d_0$ от кантилевера до электрона при этом максимальном смещении. Выразите его через $m$, $q$, $Q$, $\omega_0$, $\Delta \omega_0$ и коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k_e$. Рассчитайте $d_0$ в нанометрах для $\Delta \omega_0 = 20~\text{с}^{-1}$. Параметры кантилевера $m = 1.0 \cdot 10^{-12}~кг$, $k = 1.0~Н/м$. Поляризацией иглы кантилевера и поверхности можно пренебречь. $k_e = 1/4 \pi \varepsilon_0 = 9.0 \cdot 10^9 \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$ и $e = -1.6 \cdot 10^{-19}~Кл$.