В задаче рассматривается физика ледяного щита Гренландии, второго по размерам ледяного массива в мире, см. рис. 1a. Для простоты будем считать Гренландию прямоугольным островом ширины $2L$ и длины $5L$, в котором земля находится на уровне моря и полностью покрыта несжимаемым льдом (с постоянной плотностью $\rho_{\text{ice}}$), см. рис. 1b. Профиль высоты $H(x)$ ледяного покрова не зависит от координаты $y$ и изменяется от $0$ на побережье $x = \pm L$ до максимальной высоты $H_m$ вдоль срединной оси север-юг (оси $y$), известной как линия разделения льда, см. рис. 1c.

(a) (Вверху слева) Карта Гренландии, показывающая ледяной покров (белый цвет), свободную от ледяного покрова прибрежную территорию (зеленый) и окружающий океан (голубой). (b) (Вверху справа) Грубая модель ледяного щита Гренландии в виде прямоугольной области в плоскости $xy$ размерами $2L \times 5L$. Линия разделения льда, или линия максимальной высоты ледового покрова $H_m$, совпадает с осью $y$. (c) (Снизу) Вертикальное сечение (в плоскости $xz$) ледяного щита, показывающее профиль высоты $H(x)$ (синяя линия). $H(x)$ не зависит от координаты $y$ при $0 < y < 5L$, а в точках $y=0$ и $y=5L$ резко падает до нуля. Ось $z$ обозначает положение линии разделения льда. Для удобства все вертикальные размеры на схеме многократно увеличены по сравнению с горизонтальными. Плотность льда $\rho_{\text{ice}}$ есть величина постоянная.

Две полезные формулы

В этой задаче вам может пригодиться интеграл \begin{equation*} \int\limits_0^1 \sqrt{1-x} \, dx = \frac{2}{3} \end{equation*} и приближенная формула $(1+x)^{a} \approx 1 + a x$, справедливая при условии $|a x| \ll 1$.

Часть A. Профиль высоты ледяного щита

На коротких промежутках времени ледяной щит можно рассматривать как несжимаемую гидростатическую систему с фиксированным профилем высоты $H (x)$.

A1  ^0.30 Запишите выражение для давления внутри ледяного щита $p(x,z)$ как функции высоты над уровнем моря $z$ и расстояния $x$ от линии разделения льда. Атмосферным давлением пренебречь.

Рассмотрим некоторую вертикальную пластину ледяного щита, находящуюся в положении равновесия. Пластина опирается на малую горизонтальную площадку $\Delta x \Delta y$ между координатами $x$ и $x + \Delta x$ и обозначена красными штриховыми линиями на рис. 1c. Размер $\Delta y$ не важен. Из-за разности высот двух сторон пластины, возникает горизонтальная компонента силы $\Delta F$, действующая на вертикальные стороны. Она уравновешена силой трения $\Delta F = S_b \Delta x \Delta y$ льда о землю на площадке $\Delta x \Delta y$, где $S_b = 100$ кПа.

A2  ^0.90 Для произвольного $x$ покажите, что в пределе $\Delta x \to 0$, $S_b = k H \frac{d H}{d x}$, и найдите $k$.

A3  ^0.80 Выразите высоту $H(x)$ через $\rho_{\text{ice}}$, $g$, $L$, $S_b$ и расстояние $x$ от линии разделения льда. Результат должен подтвердить, что наибольшая высота ледяного щита $H_m$ зависит от его полуширины $L$ как $H_m \propto L^{1/2}$.

A4  ^0.50 Определите показатель степени $\gamma$, который показывает, как полный объем ледяного покрова $V_{\text{ice}}$ зависит от площади $A$ прямоугольного острова, $V_{\text{ice}} \propto A^{\gamma}$.

Часть B. Динамический ледяной щит

На более длительных промежутках времени лед является вязкой несжимаемой жидкостью, которая под действием гравитации течет из центральной части к береговым. В рамках этой модели профиль высоты $H(x)$ сохраняется за счет того, что прирост льда из-за снегопадов в центральной части уравновешивается таянием льда в береговой части. Дополнительно к геометрии ледяного щита, изображенного на рис. 1b и 1c, сделаем следующие допущения:

• Лед течет в плоскости $xz$ от линии разделения льда (оси $y$).
• Скорость нарастания льда за счет снегопадов $c$ (м/год) в центральной части постоянна.
• Лед покидает ледник только за счет таяния вблизи берегов $x = \pm L$.
• Горизонтальная ($x$-) компонента $v_x(x) = dx/dt$ вектора скорости течения льда не зависит от координаты $z$.
• Вертикальная ($z$-) компонента $v_z(z) = dz/dt$ вектора скорости течения льда не зависит от координаты $x$.

Рассмотрим только центральную область $|x| \ll L$ вблизи середины ледяного щита, где изменения высоты ледяного массива очень малы и ими можно пренебречь, т.е. $H(x) \approx H_m$.

B1  ^0.60 Используйте закон сохранения массы, чтобы найти выражение для горизонтальной компоненты скорости течения льда $v_x (x)$ через $c$, $x$ и $H_m$.

Из условия несжимаемости, т.е. постоянности плотности льда $\rho_{\text{ice}}$, следует, что закон сохранения массы накладывает следующее ограничение на компоненты вектора скорости течения: \begin{equation*} \frac{dv_x}{dx} + \frac{dv_z}{dz} = 0. \end{equation*}

B2  ^0.60 Запишите выражение для зависимости вертикальной компоненты $v_z (z)$ вектора скорости течения льда от координаты $z$.

Небольшая частица льда, вначале находившаяся на поверхности льда в точке ($x_i$, $H_m$), с течением времени будет двигаться вместе с потоком всего льда по некоторой траектории $z(x)$ в вертикальной плоскости $xz$.

B3  ^0.90 Получите выражение для этой траектории $z(x)$.

Часть C. Возрастные и климатические индикаторы в динамическом ледяном щите

Используя компоненты вектора скорости течения льда $v_x (x)$ и $v_z (z)$, можно оценить возраст льда $\tau(z)$ на некоторой глубине $H_m - z$ от поверхности ледяного щита.

C1  ^1.00 Найдите выражение для возраста льда $\tau(z)$ как функции высоты над уровнем поверхности земли $z$ непосредственно на линии разделения льда $x=0$.

Ледовый керн, высверленный из внутренней части гренландского ледяного щита, содержит слои снега, образовавшегося в различные времена в прошлом. Такой керн может быть использован для анализа климатических изменений. Одним из лучших индикаторов служит так называемый параметр $\delta^{18} O$, определяемый как \begin{equation*} \delta^{18} O = \frac{R_{\text{ice}} - R_{\text{ref}}}{R_{\text{ref}}} 1000 ‰, \end{equation*} где $R = [{}^{18}O]/[{}^{16}O]$ обозначает относительное количество двух стабильных изотопов кислорода ${}^{18}O$ и ${}^{16}O$. Опорное значение $R_{\text{ref}}$ определяется из соотношения количества изотопов в мировом океане вблизи экватора. Наблюдения за гренландским ледяным щитом показали, что $\delta^{18}O$ снега приблизительно линейно зависит от температуры, рис. 2a. Предполагая, что такая зависимость существовала всегда, можно оценить температуру $T$ вблизи Гренландии во времена $\tau(z)$, вычисляя параметр $\delta^{18}O$, определенный по ледяному керну для глубины $H_m - z$.

(a) Наблюдаемое соотношение между $\delta^{18}O$ в снегу и среднегодовой температурой $T$ на поверхности. (b) Параметр $\delta^{18}O$, измеренный в зависимости от глубины $H_m - z$ от поверхности, полученный из анализа ледяного керна, высверленного от поверхности до гранитного основания в определенном месте на линии разделения льда в Гренландии, где $H_m = 3060$ м.

Измерения $\delta^{18}O$ в гренландском ледяном керне длиной 3060 м зафиксировали резкое изменение $\delta^{18}O$ на глубине 1492 м, рис. 2b, отметившее конец последнего ледникового периода. Ледниковый период начался 120 000 лет назад, что соответствует глубине 3040 м, а современный межледниковый период начался 11 700 лет назад, что соответствует глубине 1492 м. Предположим, что эти два периода могут быть описаны двумя различными скоростями нарастания льда, $c_{ia}$ (ice age, ледниковый период) и $c_{ig}$ (interglacial age, межледниковый период), соответственно. Вы можете считать величину $H_m$ постоянной в течение этих 120 000 лет.

C2  ^0.80 Определите скорости нарастания $c_{ia}$ и $c_{ig}$.

C3  ^0.20 Используйте данные на рис. 2, чтобы найти изменение температуры при переходе от ледникового периода к межледниковому.

Часть D. Подъем уровня моря вследствие таяния ледяного щита Гренландии

Если льды Гренландии полностью растают, это вызовет подъем уровня мирового океана. Для грубой оценки подъема уровня моря можно рассматривать однородный подъем всего мирового океана с постоянной площадью $A_0 = 3.61 \cdot 10^{14}~м^2$.

D1  ^0.60 Вычислите средний подъем уровня мирового океана в результате полного таяния ледяного щита Гренландии площадью $A_G = 1.71 \cdot 10^{12}~м^2$ и напряжением сдвига в основании щита $S_b = 100$ кПа.

Массивный ледяной щит Гренландии оказывает гравитационное притяжение на окружающий океан. Если ледяной щит растает, то высокий местный прилив исчезнет, соответственно уровень моря вблизи Гренландии упадет, что частично скомпенсирует подъем уровня моря, вычисленный выше. Для того, чтобы оценить величину гравитационного притяжения воды, представим ледяной щит Гренландии в виде точечной массы, расположенной на поверхности Земли и соответствующей полной массе ледяного щита Гренландии. Копенгаген находится на расстоянии 3500 км вдоль поверхности Земли от этой точечной массы. Представим также Землю (без точечной массы) как сферически симметричное тело, полностью покрытое мировым океаном. Полная площадь поверхности Земли $A_E = 5.10 \cdot 10^{14}~м^2$. Всеми эффектами вращения Земли можно пренебречь.

D2  ^1.80 В рамках этой модели определите разность $h_{\text{CPH}} - h_{\text{OPP}}$ уровней моря в Копенгагене ($h_{\text{CPH}}$) и в точке, диаметрально противоположной Гренладии ($h_{\text{OPP}}$).