Pho.rs: Ледяной щит Гренландии

A1 ^0.30 Запишите выражение для давления внутри ледяного щита $p(x,z)$ как функции высоты над уровнем моря $z$ и расстояния $x$ от линии разделения льда. Атмосферным давлением пренебречь.

1 Гидростатическое давление $p(x,z)=\rho_\mathrm{ice}g(H(x)-z)$

0.30

A2 ^0.90 Для произвольного $x$ покажите, что в пределе $\Delta x \to 0$, $S_b = k H \frac{d H}{d x}$, и найдите $k$.

1 Сила с одной стороны пластины $F(x)=\frac12\Delta y\rho_\mathrm{ice}gH(x)^2$	0.40
2 Равнодействующая $\Delta F=-\Delta y\rho_\mathrm{ice}gH(x)\frac{\mathrm dH}{\mathrm dx}\Delta x$	0.20
3 Ответ $k=-\rho_\mathrm{ice}g$	0.30

A3 ^0.80 Выразите высоту $H(x)$ через $\rho_{\text{ice}}$, $g$, $L$, $S_b$ и расстояние $x$ от линии разделения льда. Результат должен подтвердить, что наибольшая высота ледяного щита $H_m$ зависит от его полуширины $L$ как $H_m \propto L^{1/2}$.

1 Уравнение $-\frac{S_\mathrm b}{\rho_\mathrm{ice}g}=\frac12\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}H(x)^2$	0.20
2 Его решение $H(x)=\sqrt\frac{2S_\mathrm bL}{\rho_\mathrm{ice}g}\sqrt{1-\|x\|/L}$	0.40
3 $H_\mathrm m=\sqrt\frac{2S_\mathrm bL}{\rho_\mathrm{ice}g}$	0.20

A4 ^0.50 Определите показатель степени $\gamma$, который показывает, как полный объем ледяного покрова $V_{\text{ice}}$ зависит от площади $A$ прямоугольного острова, $V_{\text{ice}} \propto A^{\gamma}$.

1 Объём ледника $V_\mathrm{ice}=\frac{20}3H_\mathrm mL^2\propto L^{5/2}$	0.30
2 Ответ $\gamma=\frac54$	0.20

B1 ^0.60 Используйте закон сохранения массы, чтобы найти выражение для горизонтальной компоненты скорости течения льда $v_x (x)$ через $c$, $x$ и $H_m$.

1 Равенство потоков $\rho_\mathrm{ice}cx\Delta y=\rho_\mathrm{ice}\Delta yH_\mathrm mv_x(x)$	0.40
2 Ответ $v_x(x)=\frac{cx}{H_\mathrm m}$	0.20

B2 ^0.60 Запишите выражение для зависимости вертикальной компоненты $v_z (z)$ вектора скорости течения льда от координаты $z$.

1 Несжимаемость $\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=-\frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}=-\frac c{H_\mathrm m}$	0.30
2 Ответ $v_z(z)=-\frac{cz}{H_\mathrm m}$	0.30

B3 ^0.90 Получите выражение для этой траектории $z(x)$.

1 Зависимость $z(t)=H_\mathrm me^{-ct/H_\mathrm m}$	0.30
2 Зависимость $x(t)=x_i me^{ct/H_\mathrm m}$	0.30
3 Ответ $z=\frac{H_\mathrm mx_i}x$	0.30

C1 ^1.00 Найдите выражение для возраста льда $\tau(z)$ как функции высоты над уровнем поверхности земли $z$ непосредственно на линии разделения льда $x=0$.

1 Ответ $\tau(z)=\frac{H_\mathrm m}c\ln\left[\frac{H_\mathrm m}z\right]$

1.00

C2 ^0.80 Определите скорости нарастания $c_{ia}$ и $c_{ig}$.

1 Ответ $c_\mathrm{ig}=\frac{H_\mathrm m}{11700~\text{лет}}\ln\frac{H_\mathrm m}{H_\mathrm m-1492~\text{м}}=0.1749~\frac{\text{м}}{\text{год}}$	0.30
2 $H_\mathrm m\ln\frac{H_\mathrm m}{H_\mathrm m-3040~\text{м}}=(120000~\text{лет}-11700~\text{лет})c_\mathrm{ia}+11700~\text{лет}\cdot c_\mathrm{ig}$	0.30
3 Ответ $c_\mathrm{ia}=0.1232~\frac{\text{м}}{\text{год}}$	0.20

C3 ^0.20 Используйте данные на рис. 2, чтобы найти изменение температуры при переходе от ледникового периода к межледниковому.

1 $\delta^{18}\mathrm O:-43.5‰\to-34.5‰$	0.10
2 $T:-40~{}^\circ\mathrm C\to-28~{}^\circ\mathrm C\implies\Delta T\approx12~{}^\circ\mathrm C$	0.10

D1 ^0.60 Вычислите средний подъем уровня мирового океана в результате полного таяния ледяного щита Гренландии площадью $A_G = 1.71 \cdot 10^{12}~м^2$ и напряжением сдвига в основании щита $S_b = 100$ кПа.

1 Объём льда $V_\mathrm{ice}=3.45\cdot10^{15}~\text{м}^3$	0.30
2 Объём воды $V_\mathrm{w}=3.17\cdot10^{15}~\text{м}^3$	0.10
3 $\Delta h_G=8.79~\text{м}$	0.20

D2 ^1.80 В рамках этой модели определите разность $h_{\text{CPH}} - h_{\text{OPP}}$ уровней моря в Копенгагене ($h_{\text{CPH}}$) и в точке, диаметрально противоположной Гренладии ($h_{\text{OPP}}$).

1 Масса льда $M_\mathrm{ice}=3.17\cdot10^{18}~\text{кг}$	0.30
2 Потенциал $U=-mgR_E\left[1-\frac h{R_E}+\frac{M_\mathrm{ice}/m_E}{r/R_E}\right]$	0.50
3 Изменение высоты $h(\theta)-h_0=\frac{1.69~\text{м}}{\|\sin(\theta/2)\|}$	0.50
4 Для Копенгагена $\theta_\mathrm{Chp}=\frac{3.5\cdot10^6~\text{м}}{r_E}=0.549$	0.30
5 Ответ $h_\mathrm{Chp}-h_\mathrm{opp}=4.56~\text{м}$	0.20

Ледяной щит Гренландии

Разбалловка