Давление внутри щита определяется гидростатическим давлением $p(x, z)=\rho_{\text {ice}} g(H(x)-z)$, которое равно нулю у поверхности.

Силу, действующую на вертикальный срез щита ширины $\Delta y$ на расстоянии $x$ от середины, можно найти интегрированием давления по площади: $$ F(x)=\Delta y \int_{0}^{H(x)} \rho_{\text {ice }} g(H(x)-z)\mathrm{d} z=\frac{1}{2} \Delta y \rho_{\text {ice }} g H(x)^{2} $$ откуда $\Delta F=F(x)-F(x+\Delta x)=-\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} \Delta x=-\Delta y \rho_{\text {ice }} g H(x)\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{~d} x} \Delta x$. Таким образом, $$ S_{\mathrm{b}}=\frac{\Delta F}{\Delta x \Delta y}=-\rho_{\text {ice }} g H(x)\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} x} $$Обратите внимание на знак ($S_{b}$ был определен как положительная величина, а $H(x)$ – убывающая функция от $x$).

Чтобы найти профиль высоты, решим дифференциальное уравнение для $H(x)$: \[-\dfrac{S_\mathrm b}{\rho_\mathrm{ice} g}=H(x)~\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} H(x)^{2}\]с граничным условием, что $H(L)=0$. Результат:

Максимальная высота $H_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{2 S_{b} L}{\rho_{\text {ice }} g}}$.

Дополнение

Ответ можно получить методом размерностей. Действительно, пусть $\mathcal{L}=\left[H_{\mathrm{m}}\right]=\left[\rho_{\text {ice }}^{\alpha} g^{\beta} \tau_{\mathrm{b}}^{\gamma} L^{\delta}\right]$. Используя $\left[{\rho_{\text {ice }}}\right]=\mathcal{M} \mathcal{L}^{-3}$, $[g]=\mathcal{L} \mathcal{T}^{-2}$, $\left[\tau_\mathrm {b}\right]=\mathcal{M} \mathcal{L}^{-1} \mathcal{T}^{-2}$, получим $\mathcal{L}=\left[H_{\mathrm{m}}\right]=\left[\rho_{i}{ }^{\alpha} g^{\beta} \tau_\mathrm{b}^{\gamma} L^{\delta}\right]=\mathcal{M} \mathcal{L}^{\alpha+\gamma} \mathcal{L}^{-3 \alpha+\beta-\gamma+\delta} \mathcal{T}^{-2 \beta-2 \gamma}$ или же $\alpha+\gamma=0$, $-3 \alpha+\beta-\gamma+\delta=1$, $2 \beta+2 \gamma=0$. Решая эту систему, получим $\alpha=\beta=-\gamma=\delta-1$, то есть: $$ H_{\mathrm{m}} \propto\left(\frac{S_{\mathrm{b}}}{\rho_{\rho_{\mathrm{ice}}} g}\right)^{\gamma} L^{1-\gamma} $$ Поскольку в условии явно указано, что $H_{\mathrm{m}} \propto \sqrt{L}$, должно быть $\gamma=1 / 2$. При граничном условии $H(L)=0$ решение принимает вид $$ H(x)\propto\left(\frac{S_{\mathrm{b}}}{\rho_{\text {ice }} g}\right)^{1 / 2} \sqrt{L-x} $$ Коэффициент пропорциональности $\sqrt{2}$ при этом быть определён не может.

Для прямоугольной модели Гренландии площадь равна $A=10 L^{2}$, а объем находится путем интегрирования по профилю высоты, найденному в предыдущем пункте: \begin{align*} V_{\mathrm{G,ice}} & =(5 L) 2 \int\limits_{0}^{L} H(x)\mathrm{d} x=10 L \int\limits_{0}^{L}\left(\frac{\tau_{\mathrm{b}} L}{\rho_{\text {ice }} g}\right)^{1 / 2} \sqrt{1-x / L} \mathrm{ d} x=10 H_{\mathrm{m}} L^{2} \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-\tilde{x}} \mathrm{ d} \tilde{x} \\ & =10 H_{\mathrm{m}} L^{2}\left[-\frac{2}{3}(1-\tilde{x})^{3 / 2}\right]_{0}^{1}=\frac{20}{3} H_{\mathrm{m}} L^{2} \propto L^{5 / 2}, \end{align*}Отсюда следует $V_{\text {G,ice }} \propto{A}^{5 / 4}$, и искомая экспонента равна:

Заметим, что для нахождения только показателя степени $L$ можно обойтись и без интегрирования.

Суммарная масса, добавляющаяся в единицу времени в участке ледника шириной $\Delta y$ между точками $x=0$ и некоторым $x>0$ должна равняться потоку массы через вертикальное сечение ледника в точке $x$. Иначе говоря, $\rho c x \Delta y=\rho \Delta y H_{\mathrm{m}} v_{x}(x)$, откуда:

Из условия несжимаемости: $$ \frac{\mathrm{d} v_{z}}{\mathrm{~d} z}=-\frac{\mathrm{d} v_{x}}{\mathrm{~d} x}=-\frac{c}{H_{\mathrm{m}}} $$Решаем с начальным условием $v_{z}(0)=0$:

Далее, решая уравнения $$ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=-\frac{c z}{H_{\mathrm{m}}} \quad \text { и } \quad \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{c x}{H_{\mathrm{m}}} $$ с начальными условиями $z(0)=H_{\mathrm{m}}$ и $x(0)=x_{i}$, получаем$$ z(t)=H_{\mathrm{m}} \mathrm{e}^{-c t / H_{\mathrm{m}}} , \quad x(t)=x_{i} \mathrm{e}^{c t / H_{\mathrm{m}}} $$Таким образом:

Это означает, что линии потока являются гиперболами в плоскости $x z$.

Дополнение

Вместо того чтобы явно решать дифференциальные уравнения, можно заметить, что: $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(x z)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} z+x \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{c x}{H_{\mathrm{m}}} z-x \frac{c z}{H_{\mathrm{m}}}=0, $$откуда $x z= \operatorname{const}$. С учётом начальных условий, $z=H_{\mathrm{m}} x_{i} / x$.

В центре ледника $x=0$ движение льда будет вертикальным. $\tau(z)$ можно найти, решая дифференциальное уравнение:

Современный межледниковый период длится до глубины $1492~ м$, что соответствует $11\, 700$ годам. Используя формулу для $\tau(z)$, можно найти скорость нарастания льда в межледниковом периоде: $$ c_{\mathrm{ig}}=\frac{H_{\mathrm{m}}}{11\,700 ~ лет } \ln \left(\frac{H_{\mathrm{m}}}{H_{\mathrm{m}}-1492 ~м}\right)=0.1749 ~\dfrac{м} { год }$$Начало ледникового периода $120\, 000$ лет назад соответствует падению $\delta^{18} \mathrm{O}$ на глубине $3040~ м$. Интегрируем уравнение $\dfrac{\mathrm{d} z}{z}=-\dfrac{c}{H_{\mathrm{m}}} \mathrm{d} t$ до глубины $3040~ м$, учитывая наличие двух участков в разными $c$:$$ \begin{aligned} & H_{\mathrm{m}} \ln \left(\frac{H_{\mathrm{m}}}{H_{\mathrm{m}}-3040 ~м}\right)=-H_{\mathrm{m}} \int_{H_{\mathrm{m}}}^{H_{\mathrm{m}}-3040~м} \frac{1}{z} \mathrm{~d} z \\\\ & \quad=\int_{11\,700 ~лет}^{120\,000 ~лет} c_{\mathrm{ia}}~ \mathrm{d} t+\int_{0}^{11\,700 ~лет} c_{\mathrm{ig}}~ \mathrm{d} t \\\\ & =c_{\mathrm{ia}}(120\,000 ~ лет - 11\,700~ лет)+c_{\mathrm{ig}} \cdot 11 700~ лет \end{aligned} $$Решая это уравнение, получим $c_{\mathrm{ia}}=0.1232~{м}/ { год }$ – осадков выпадает гораздо меньше, чем сейчас.

Когда $\delta^{18} \mathrm{O}$ изменяется с $-43.5 \%$ до $-34.5 \%$, $T$ изменяется с $-40^{\circ} \mathrm{C}$ до $-28^{\circ} \mathrm{C}$, т.е.:

Из площади $A_{\mathrm{G}}$ найдём $L=\sqrt{A_{\mathrm{G}} / 10}=4.14 \cdot 10^{5} ~м$. Подставим это в формулу для объёма: $$ V_{\mathrm{G,ice}}=\frac{20}{3} L^{5 / 2} \sqrt{\frac{2 S_{\mathrm{b}}}{\rho_\mathrm{ ice } g}}=3.45 \cdot10^{15}~м^{3} $$В результате таяния этого льда возникает вода объёмом $V_{\mathrm{G}, \mathrm{wa}}=V_{\mathrm{G,ice}} \frac{\rho_\mathrm{ice}}{\rho_{\mathrm{wa}}}=3.17 \cdot 10^{15}~м^{3}$. Этому соответствует повышение уровня моря $h_{\mathrm{G,rise}}=\frac{V_{\mathrm{G,wa}}}{A_0}=8.79 ~м$.

Полная масса льда составляет: $$ M_{\mathrm{ice}}=V_{\mathrm{G,ice }} \rho_{\mathrm{ice}}=3.17 \cdot10^{18} ~кг=5.31 \cdot 10^{-7} m_{\mathrm{E}} $$Потенциальная энергия пробной массы $m$, расположенной на высоте $h$ над поверхностью Земли и на угловом расстоянии $\theta$ от ледника, равна сумме потенциальных энергий взаимодействия со льдом и с Землёй: $$ U_{\mathrm{tot }}=-\frac{G m_{\mathrm{E}} m}{R_{\mathrm{E}}+h}-\frac{G M_{\mathrm{ice}} m}{r}=-m g R_\mathrm{E}\left(\frac{1}{1+h / R_\mathrm{E}}+\frac{M_{\mathrm{ice }} / m_\mathrm{E}}{r / R_\mathrm{E}}\right), $$где $g=G m_\mathrm{E} / R_\mathrm{E}^{2}$. Поскольку $h / R_{\mathrm{E}} \ll 1$, можно воспользоваться приближением $(1+x)^{-1} \approx 1-x$, $|x| \ll 1$. Тогда: $$ U_{\mathrm{tot}} \approx-m g R_\mathrm{E}\left(1-\frac{h}{R_\mathrm{E}}+\frac{M_{\mathrm{ice }} / m_\mathrm{E}}{r / R_\mathrm{E}}\right)\implies h=h_{0}+\frac{M_{\mathrm{ice }} / m_\mathrm{E}}{r / R_\mathrm{E}} R_\mathrm{E},$$где $h_{0}=R_\mathrm{E}+U_{\mathrm{tot}} /mg$. Поскольку при $h / R_{\mathrm{E}} \ll 1$ можно считать $r \approx 2 R_{\mathrm{E}}|\sin (\theta / 2)|$, получаем: $$ h(\theta)-h_{0} \approx \frac{M_{\mathrm{ice}} / m_{\mathrm{E}}}{2|\sin (\theta / 2)|} R_\mathrm{E} \approx \frac{1.69 {~м}}{|\sin (\theta / 2)|}. $$Чтобы определить величину эффекта в Копенгагене, найдём угловое расстояние между ним и ледником: $\theta_{\mathrm{CPH}}=\left(3.5 \cdot10^{6} ~м\right) / R_\mathrm{E} \approx 0.549$, откуда $h_{\mathrm{CPH}}-h_{0} \approx 6.25 ~м$. Прямо противоположная Гренландия точка соответствует $\theta=\pi$, что дает $h_{\mathrm{OPP}}-h_{0} \approx 1.69~м$. Итого: