Logo
Logo

Два маятника

Часть A. Один маятник (2.9 балла)
В этой части мы рассмотрим математический маятник -- груз массы $m$, подвешенный на нити длины $l$. Ускорение свободного падения $g$. Угловую амплитуду колебаний маятника обозначим $\alpha$ и будем всюду считать малой $\alpha \ll 1$.
A1  0.50 Найдите среднюю за период силу натяжения нити маятника $\langle T\rangle$. Выразите ответ через угловую амплитуду колебаний $\alpha$ и параметры маятника.
A2  0.20 Пусть теперь длину нити маятника медленно изменяют, так что относительное изменение длины за один период колебаний мало. Какая работа совершится над грузом, если длина нити изменяется на $\Delta l \ll l$? Выразите ответ через угловую амплитуду колебаний $\alpha$ (считая ее постоянной) и параметры маятника.
A3  0.80 В начальный момент времени длина равна $l_0$, а энергия колебаний $W_0$. Найдите энергию колебаний $W_1$, когда длина нити станет равной $l_1$. Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается!
A4  0.40 В условиях предыдущего пункта, найдите амплитуду $\alpha_1$, когда длина маятника станет равна $l_1$. В начальный момент времени длина нити равна $l_0$, амплитуда колебаний $\alpha_0$.
A5  1.00 Пусть теперь маятник имеет заряд $q >0$ и помещен во внешнее электрическое поле $E$, направленное вертикально ($E>0$ когда поле направлено вниз). Это электрическое поле медленно меняется со временем. Пусть в начальный момент времени поле было равно нулю, а амплитуда колебаний груза $\alpha_0$. Рассмотрите эту систему аналогично пунктам A1 - A4. Найдите амплитуду колебаний груза $\alpha_2$, когда электрическое поле станет равным $E_1$. Считайте, что поле меняется достаточно медленно, так что изменение амплитуды колебаний за один период мало. Длина маятника постоянна и равна $l$.
Часть B. Два маятника (4.2 балла)
Пусть нить перекинута через два гладких гвоздя малого диаметра, на концах нити закреплены грузы массами $m_1$ и $m_2$ соответственно. При этом левый груз 1 всегда движется строго вертикально, а правый в начальный момент отклоняют на малый угол $\alpha \ll 1$ от вертикали. Нить достаточно длинна, чтобы в процессе движения левый груз не достиг гвоздя. Начальная длина правого участка нити равна $l$. Мы исследуем дальнейшее движение системы с такими начальными условиями при разных предположениях относительно масс грузов.
B1  0.90 Пусть $m_1 = m + \delta m$, $m_2 = m$, $\delta m \ll m$. Начальная скорость груза $m_1$ равна нулю, начальная амплитуда колебаний второго груза равна $\alpha_0$, длина правого участка нити $l_0$.
Найдите среднее ускорение $a_0$ левого груза в начальный момент времени. Усреднение производится по периоду колебаний правого груза. Считайте что $a_0 >0$ если ускорение направлено вверх.
B2  0.20 При каком значении $\delta m_0$ левый груз в среднем не будет двигаться?
B3  1.00 Пусть $\delta m = \delta m_0$. Найдите максимальное смещение $z_{max}$ груза $m_1$ относительно начального положения.
B4  1.30 Если значение $\delta m$ не очень сильно отличается от $\delta m_0$, то груз $m_1$ будет совершать колебания, циклическая частота колебаний которых много меньше частоты колебаний правого груза. Найдите эту частоту $\Omega$, а также амплитуду $B$ колебаний. При каких значениях $\Delta m = \delta m - \delta m_0$ такие колебания можно считать гармоническими?
B5  0.80 Пусть теперь значение $\delta m \ll m$ произвольно. Найдите максимальную и минимальную длины правого участка нити при дальнейшем движении.
Часть С. Электрическая цепь (0.9 балла)
С1  0.90 Рассмотрим колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности $L$ и плоского конденсатора, между обкладками которого вакуум. Расстояние между обкладками конденсатора медленно меняют. Пусть начальная емкость конденсатора $C_0$, начальная амплитуда тока в контуре $I_0$. Рассмотрите систему аналогично пунктам A1-A4. Найдите амплитуду тока $I_1$ в тот момент, когда емкость конденсатора станет равна $C_1$.