| 1 Вклад $mg \cos \varphi$ в силу натяжения нити | 0.10 |
|
| 2 Вклад $mv^2/l$ в силу натяжения нити | 0.10 |
|
| 3 Связь среднего квадрата угла и амплитуды $\langle \varphi^2 \rangle = \alpha^2/2$ | 0.10 |
|
| 4 Связь средней скорости с амплитудой $\langle v^2 \rangle = \omega^2 l^2 \alpha^2/2$ | 0.10 |
|
| 5 Ответ $mg \left( 1 + \frac{\alpha^2}{4}\right)$ | 0.10 |
|
|
1
Ответ для работы силы натяжения $
A = - mg \Delta l \left(1 + \frac{\alpha^2}{4} \right) $ |
0.10 |
|
| 2 Общий знак - | 0.10 |
|
| 1 Изменение энергии колебаний равно работе силы натяжения, причем знак работы верный | 0.10 |
|
| 2 Связь энергии колебаний и амплитуды $W = mgl\alpha^2/2$ | 0.20 |
|
| 3 Дифференциальное уравнение для энергии | 0.20 |
|
| 4 Решение для энергии $W \sim l^{-1/2}$ | 0.20 |
|
|
5
Ответ $
W_1 = W_0 \sqrt{\frac{l_0}{l_1}} $ |
0.10 |
|
| 1 Выражение для амплитуды через энергию $\alpha \sim W^{1/2}l ^{-1/2}$ | 0.20 |
|
|
2
Ответ $
\alpha_1 = \alpha_0 \left( \frac{l_0}{l_1}\right)^{3/4} $ |
0.20 |
|
| 1 M1 Идея найти изменение энергии колебаний через работу электрического поля | 0.30 |
|
| 2 M1 Выражение для работы | 0.20 |
|
| 3 M1 Дифференциальное уравнение для энергии колебаний | 0.20 |
|
| 4 M1 Зависимость $W \sim \omega$ или аналогичное | 0.20 |
|
|
5
M1
$$
\alpha_2 = \alpha_0 \left( 1 + \frac{qE_1}{mg}\right)^{-1/4} $$ |
0.10 |
|
| 6 M2 Использование инварианта $W/\omega$ без доказательства | 0.30 |
|
|
7
M2
$$
\alpha_2 = \alpha_0 \left( 1 + \frac{qE_1}{mg}\right)^{-1/4} $$ |
0.20 |
|
|
1
Уравнение движения левого груза $
m_1 a_0 = - m_1 g + T $ |
0.20 |
|
| 2 Подставлено среднее значение силы натяжения нити | 0.20 |
|
| 3 Учтено продольное ускорение второго груза (член $- m \ddot{z}$ в силе натяжения нити) | 0.20 |
|
|
4
Ответ для ускорения $
a_0 = -\frac{\delta m}{2m} g + g \frac{\alpha_0^2}{8} $ |
0.20 |
|
| 5 Правильный знак | 0.10 |
|
| 1 Ускорение $a_0 = 0$ | 0.10 |
|
|
2
$
\delta m = m\frac{\alpha_0^2}{4} $ |
0.10 |
|
| 1 В уравнение для движения подставлено мгновенное значение силы натяжения нити | 0.10 |
|
| 2 В силу натяжения нити подставлен закон движения правого груза | 0.20 |
|
|
3
Закон движения левого груза
$$ z = \frac{3 l_0 \alpha_0^2}{32 }\left( \cos 2 \omega t -1\right). $$ |
0.30 |
|
| 4 Правильный численный коэффициент коэффициент | 0.10 |
|
| 5 Смещение максимально при $\cos 2 \omega t = -1$ | 0.10 |
|
|
6
Максимальное смещение $
z_{max} = \frac{3}{16} \alpha_0^2 l_0 $ |
0.20 |
|
|
1
Идея использовать результат пункта $A4$ и записать амплитуду колебаний правого груза $
\alpha(t) = \alpha_0\left( \frac{l_0}{l(t)}\right)^{3/4} $ |
0.30 |
|
| 2 Связь длины правой нити и смещения левого груза $l = l_0 +z$ | 0.10 |
|
| 3 Разложение уравнения колебаний по степеням $z$ | 0.20 |
|
| 4 Получено уравнений гармонический колебаний | 0.10 |
|
|
5
Частота колебаний $
\Omega = \alpha_0\sqrt{\frac{3 g}{16 l_0}} $ |
0.20 |
|
|
6
Амплитуда колебаний $
B = \frac{\Delta m}{m} \frac{8 l_0}{3 \alpha_0^2} $ |
0.20 |
|
|
7
Условие малости колебаний $
\frac{\Delta m}{m} \ll \alpha_0^2. $ |
0.20 |
|
|
1
Выражение для энергии колебаний $
W = W_0 \frac{l_0^{1/2}}{l^{1/2}}. $ |
0.20 |
|
|
2
Гравитационная энергия $
\Delta U = \delta m g (l - l_0). $ |
0.10 |
|
|
3
Закон сохранения энергии $
W_0 = W + \delta m g (l - l_0) $ |
0.10 |
|
|
4
Найдено решение уравнения $
l_1 = l_0 \left(\sqrt{\frac{m \alpha_0^2 }{2 \delta m} + \frac{1}{4}}- \frac{1}{2}\right)^2. $ |
0.30 |
|
| 5 Правильно определены максимум и минимум длины | 0.10 |
|
| 1 Идея исследовать изменение энергии колебаний | 0.20 |
|
|
2
Найдена сила притяжения пластин конденсатора $
F = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 S}. $ |
0.10 |
|
|
3
Работа при сдвиге пластин конденсатора в любом виде
$ A = \langle F \rangle \Delta d = \frac{Q^2}{4 \varepsilon_0 S} \Delta d = \frac{C}{2 \varepsilon_0 S} W \Delta d = \frac{1}{2} W \frac{\Delta d}{d}. $ |
0.10 |
|
|
4
Уравнение на энергию колебаний $
\frac{dW}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} d, $ |
0.20 |
|
| 5 Результат для энергии $W \sim d^{1/2}$ | 0.20 |
|
|
6
Ответ для тока $
I_1 = I_0 \left( \frac{C_0}{C_1}\right)^{1/4}. $ |
0.10 |
|