Расмотрим твердый деревянный цилиндр радиуса $r_1$ и толщиной $h_1$. Где-то внутри деревянного цилиндра древесина заменена на металлический диск радиуса $r_2$ и толщиной $h_2$. Металлический диск установлен так, что его ось симметрии $B$ параллельна оси симметрии $S$ деревянного цилиндра. Диск находится на одинаковых расстояниях от верхнего и нижнего оснований деревянного цилиндра. Обозначим расстояние между осями $S$ и $B$ как $d$. Плотность древесины $\rho_1$, плотность металла $\rho_2 > \rho_1$. Суммарная масса деревянного цилиндра c металлическим диском равна $M$.
В этом задании поместим деревянный цилиндр на плоскость так, что он может свободно вращаться направо-налево. На рис. 1 показаны виды цилиндра с торца и сверху.
Цель этого задания – определить размеры и место расположения металлического диска.
Считайте, что следующие величины заданы:
\begin{equation*}
r_1, \,\, h_1, \,\, \rho_1, \,\, \rho_2, \,\, M, \,\, g. \quad \quad (1)
\end{equation*}
Цель – определить $r_2$, $h_2$ и $d$ путем косвенных измерений.

Расстояние между центром масс всей системы $C$ и осью симметрии деревянного цилиндра $S$ равно $b$. Для того, чтобы определить это расстояние, рассмотрим следующий эксперимент: деревянный цилиндр установлен на горизонтальной плоскости так, что он находится в устойчивом равновесии. Медленно наклоним плоскость на угол $\Theta$ (см. рис. 2). Из-за наличия трения деревянный цилиндр может свободно вращаться без проскальзывания. Он чуть-чуть скатится вниз, а затем придет в состояние устойчивого равновесия после поворота на угол $\phi$, который можно измерить.

A1  ^0.80 Получите выражение для $b$ как функцию величин (1), угла $\phi$ и угла наклона плоскости $\Theta$.

С этого момента считаем, что величина $b$ известна.

Теперь мы хотим измерить момент инерции $I_S$ системы относительно оси симметрии $S$. Для этого закрепим деревянный цилиндр за его ось симметрии с помощью жесткого стержня. Затем повернем его относительно положения равновесия на небольшой угол $\varphi$ и отпустим его. Схема эксперимента показана на рис. 3. Окажется, что $\varphi$ меняется периодически с периодом $T$.

A2  ^0.50 Получите уравнение движения, используя $\varphi$ в качестве переменной. Выразите момент инерции цилиндра $I_S$ относительно его оси симметрии $S$ через $T$, $b$ и известные величины (1). Считайте, что отклонение от положения равновесия невелико, так что угол $\varphi$ можно считать малым.

Используя результаты измерений из пунктов A1 и A2, определим геометрические размеры металлического диска и его положение внутри деревянного цилиндра.

A3  ^0.40 Получите выражение для расстояния $d$ как функцию $b$ и величин (1). Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте A5.

A4  ^0.70 Получите выражение для момента инерции $I_S$ как функцию $b$ и известных величин (1). Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте A5.

A5  ^1.10 Используя полученные выше результаты, запишите выражения для $h_2$ и $r_2$ через $b$, $T$ и известные величины (1). Вы можете выразить $h_2$ как функцию $r_2$.