Pho.rs: Чёткая оптика

A1 ^0.20 Измерьте фокусные расстояния $f$ и $F$ с помощью получения изображения $A'$ на экране. Для измерения используйте $H \approx 1.20~\text{м}$. В листе ответов крестиком укажите соответствие между цветом линзы и названиями $L_f$ и $L_F$.

Воспользуемся формулой тонкой линзы
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{H-a} = \frac{1}{f} \]
Для каждой линзы сделаем по два измерения.

Белая линза:
Ближняя фокусировка:
$H =124.2 \: см, \quad a = 7.3 \: см \quad \Rightarrow \quad f = 6.9 \: см$
Дальняя фокусировка:
$H =124.2 \: см, \quad a = 116.5 \: см \quad \Rightarrow \quad f = 7.2 \: см$

Синяя линза:
Ближняя фокусировка:
$H =124.5 \: см, \quad a = 18.0 \: см \quad \Rightarrow \quad F = 15.4 \: см$
Дальняя фокусировка:
$H =124.2 \: см, \quad a = 103.2 \: см \quad \Rightarrow \quad F = 17.4 \: см$

B1 ^0.20 Выставьте линзу так, что $a = a_0 + F/2$. В дальнейших пунктах мы будем изучать характерный размер таких изображений, поэтому выберите, какой линейный размер – высоту $h$ или ширину $w$ нечеткого изображения вы будете измерять в последующих пунктах. Обоснуйте свой выбор и крестиком обозначьте его в листе ответов. Этот размер будет обозначаться за $p$.

Нечеткость края пятна связана с линейным размером источника, поэтому будем измерять ширину.

B2 ^0.45 Накройте часть линзы, обращенную к экрану, диафрагмой диаметра $D$. Для всех диафрагм измерьте размер изображения $p$.

B3 ^0.40 Постройте график зависимости $p(D)$.

На графике видно слабую нелинейность у краев линзы – выпуклость вверх.

B4 ^0.10 При том же расположении объектов снимите диафрагму с линзы и измерьте размер $p_0$ изображения на экране. Определите диаметр $D_0$ открытой части линзы на основе $p_0$, сравните результат с непосредственными измерениям.

Коэффициенты линейной зависимости: $p = -0.17~\text{см} + 1.3 \cdot D$. При этом $p_0=7.0~\text{см}$.
Из этой зависимости $D_0 = 5.5~\text{см}$. Из непосредственных измерений $D_0=5.2~\text{см}$

B5 ^0.55 При $11$ различных $a$ в диапазоне $[a_0-F/3,a_0+F/2]$ измерьте размер $p$ изображения на экране.

Ответ:

B6 ^1.30 Постройте линеаризованный график зависимости $p$ от $a$. Из графика найдите фокусное расстояние $F$ и сравните его с полученным ранее. Считайте, что спираль накаливания имеет размеры $0.10~\text{см} \times 0.30~\text{см}$.

Из формулы тонкой линзы
\[ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{Fa}{a-F},\]
а размер $w'$ изображения $A'$ равен $W_A \frac{b}{a}$ и не зависит от сфокусированности на экране.

При $a > a_0$ граница изображения на экране определяется лучем, проходящим через противоположный край линзы. Из геометрии:
\[ \frac{w - w'}{H-a-b} = \frac{D+w'}{b} \]
Путем преобразований получим:
\[ w = W_A \frac{H-a}{a} + D \frac{a^2-aH+FH}{aF} \]

Случай $a>a_0$

При $a > a_0$ граница изображения на экране определяется лучем, проходящим через ближний край линзы. Из геометрии:
\[ \frac{w - w'}{a+b-H} = \frac{D-w'}{b} \]
Путем преобразований получим:
\[ w = W_A \frac{H-a}{a} - D \frac{a^2-aH+FH}{aF} \]

Линеаризация:
\[ (aH-a^2) = \pm \frac{F}{D} \left( wa - W_A (H-a) \right) + FH \]

Координаты $X_1=wa-W_A(H-a)$, $Y_1=aH - a^2$,

Ответ: Из графика можно получить $F$ четырьмя способами.
Для красной линии из свободного члена равного $FH$ следует, что $F=17.0~\text{см}$, из коэффициента наклона равного $F/D$ следует, что $F=15.7~\text{см}$.
Для синей линии из свободного члена равного $FH$ следует, что $F=17.3~\text{см}$, из коэффициента наклона равного $-F/D$ следует, что $F=17.2~\text{см}$.

B7 ^0.30 Расположите линзу так, чтобы $a = a_0 + 2F/5$. Зарисуйте границу изображения на миллиметровой бумаге. Обозначьте центр изображения, горизонтальную ось $x_S$ и вертикальную ось $y_S$.

B8 ^0.80 Рассчитайте положение границы $\Gamma$ изображения относительного его центра в $11$ точках, лежащих в области $x_S > 0$, $y_S > 0$. Нанесите эти точки на тот же лист миллиметровой бумаги, где зарисовано изображение.

Зеленый прямоугольник -- контуры спирали, которые могли бы наблюдаться при очень маленькой диафрагме. Серыми контурами обозначены контур пятна от точечного источника (оценка снизу) и контур от прямоугольного источника. Красным обозначены точки лежащие посередине между этими кривыми -- эти точки и являются теоретической границей.

C1 ^0.06 В листах ответов поставьте крестик напротив истинных утверждений.

Ответ:

$L_F$	Граница синяя при $ a < a_0$, красная при $a > a0$
$L_F$	Граница красная при $ a < a_0$, синяя при $a > a0$	$\times$
$L_f$	Граница синяя при $ a < a_0$, красная при $a > a0$
$L_f$	Граница красная при $ a < a_0$, синяя при $a > a0$	$\times$

C2 ^0.50 В листах ответов поставьте крестик напротив истинных утверждений о $n_\text{b}$ и $n_\text{r}$. Обоснуйте свой выбор.

Как видно из эксперимента при $a > a_0$ границы изображения синие, из этого следует, что синие лучи фокусируются ближе ($b_b < b_r$), из чего следует
\[ \frac{1}{b_b} > \frac{1}{b_r} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{F_b} > \frac{1}{F_r}, \]
откуда следует ответ из формулы шлифовщика:
\[ \frac{1}{F} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \]

Ответ:

$L_F$	$n_b > n_r$	$\times$
$L_F$	$n_r > n_b$
$L_f$	$n_b > n_r$	$\times$
$L_f$	$n_r > n_b$

D1 ^0.70 При $7$-ми различных $H$ измерьте размер изображения $p$ в условиях ближней фокусировки.

Ответ:

D2 ^0.55 Линеаризуйте зависимость $p$ от $H$, постройте ее график. Рассчитайте параметры источника $W_A$ и $H_A$, сделав дополнительные измерения при необходимости.

Высота сфокусированного изображения $h$ выражается через высоту спирали $H_A$:
\[ \frac{H_A}{a} = \frac{w}{H-a}. \]
Найдем $a$ из формулы тонкой линзы:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{H-a} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad a^2-aH+FH=0 \]
Из двух корней нас интересует меньший $a = \frac{1}{2} \left(H- \sqrt{H^2-4FH} \right)$.

В таком случае линейной с коэффициентом наклона $H_A$ оказывается зависимость $h$ от $X_2$, где
\[ X_2= \frac{H+\sqrt{H^2-4FH}}{H-\sqrt{H^2-4FH}}\]

Координата $X_2=\frac{H+\sqrt{H^2-4FH}}{H-\sqrt{H^2-4FH}}$.

Ответ: Из коэффициент наклона графика $H_A=0.37~\text{см}$.
Измерим отношение $\frac{H_A}{W_A}$ по увеличенному изображению: $\frac{H_A}{W_A} = \frac{3.1~\text{см}}{1.0~\text{см}}$, значит $W_A=0.12~\text{см}$.

D3 ^0.10 Посчитайте количество спиралей $N_A$ в спирали источника.

Ответ: Посмотрим на увеличенное с помощью линзы изображение на экране, также будем использовать диафрагму, чтобы уменьшить размытие из-за аберраций.
\[N_A = 18\]

E1 ^0.85 При различных фиксированных значениях $a$ подберите расстояния $l$, соответствующие четкому изображению. Измерьте высоту четкого изображения $h$. Если при нескольких разных значениях $l$ получается несколько четких изображений, то выбирайте изображение, имеющее большее $h$. У зависимости $h$ от $a$ есть характерная точка, опишите ее и промерьте ее окрестность особенно тщательно. Всего сделайте не менее 15-ти измерений.

Ответ:

E2 ^1.74 Получите теоретическую формулу для завиcимости $h$ от $a$. Постройте линеаризованный график и покажите, что теоретическая формула справедлива.

Формулы тонкой линзы:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad b =\frac{aF}{a-F},\]
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{L_1-x} = \frac{1}{f}, \quad L_1=H-a-b \]

Получим уравнение на $x$ из второй формулы тонкой линзы:
\[x^2 - xL_1 - fL_1 =0,\quad \mathcal{D}=L_1^2-4fL_1,\quad x_{1,2} = L_1\frac{1\pm \sqrt{1-
\frac{4f}{L_1}} }{2}.\]
При меньшем $x$ изображение больше, поэтому выбираем корень с минусом.

Теперь выразим высоту $h$ изображения $A''$, пусть высота $A'$ – $h'$. Из подобных треугольников:
\[ \frac{H_A}{a} = \frac{h'}{b}, \quad \frac{h'}{x}=\frac{h}{L_1-x}.\]
В итоге
\[h = \frac{L_1-x}{x} \frac{b}{a} H_A = \frac{1+ \sqrt{1-
\frac{4f}{L_1}}}{1- \sqrt{1-\frac{4f}{L_1}}}\frac{F}{a-F} H_A,\]
где $L_1 = H-a-\frac{aF}{a-F}$.

Таким образом линеаризация $h$ от $X_3$, где
\[ X_3 = \frac{1+ \sqrt{1- \frac{4f}{H-a-\frac{aF}{a-F}}}}{1- \sqrt{1-\frac{4f}{H-a-\frac{aF}{a-F}}}}\frac{F}{a-F}.\]

Ответ: Коэффициент наклона графика $k=0.35~\text{см}$, что полностью соответствует $H_A$ полученному в других пунктах.

E3 ^0.80 Настройте телескоп Кеплера так, чтобы расстояние между линзой $L_f$ и линейкой было $H\approx1.20~\text{м}$, и через телескоп Вам было четко видно увеличенное изображение линейки. Сделайте необходимые измерения и рассчитайте экспериментальное значение увеличения $\Gamma_K$ телескопа Кеплера в такой системе.

Увеличение телескопа Кеплера можно оценить, если сравнить видимое изображение линейки с другим известным размером. Например, на пластиковое обрамление линзы наклеить две полоски малярного скотча. На фотографии показан процесс таких измерений.

Ответ: С расстояния $L_\Gamma=33~\text{см}$ мы видим, что щели толщиной $h_\Gamma=21~\text{мм}$ соответствует $H_\Gamma=23~\text{мм}$ на линейке. Расстояние между линейкой и линзой $H=118~\text{см}$. Значит увеличение $\Gamma$ можно найти так:
\[ \Gamma = \frac{h_\Gamma}{L_\Gamma} \cdot \frac{H+L_\Gamma}{H_\Gamma} = 4.2 \]

E4 ^0.40 Пронаблюдайте искажение изображения линейки у краев области видимости телескопа. Зарисуйте видимое через телескоп Кеплера изображение линейки. На рисунке отобразите и хроматические, и сферические аберрации.

Ответ:

Чёткая оптика

Решение