Воспользуемся формулой тонкой линзы
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{H-a} = \frac{1}{f} \]
Для каждой линзы сделаем по два измерения.
Белая линза:
Ближняя фокусировка:
$H =124.2 \: см, \quad a = 7.3 \: см \quad \Rightarrow \quad f = 6.9 \: см$
Дальняя фокусировка:
$H =124.2 \: см, \quad a = 116.5 \: см \quad \Rightarrow \quad f = 7.2 \: см$
Синяя линза:
Ближняя фокусировка:
$H =124.5 \: см, \quad a = 18.0 \: см \quad \Rightarrow \quad F = 15.4 \: см$
Дальняя фокусировка:
$H =124.2 \: см, \quad a = 103.2 \: см \quad \Rightarrow \quad F = 17.4 \: см$
Нечеткость края пятна связана с линейным размером источника, поэтому будем измерять ширину.
На графике видно слабую нелинейность у краев линзы — выпуклость вверх.
Коэффициенты линейной зависимости: $p = -0.17~\text{см} + 1.3 \cdot D$. При этом $p_0=7.0~\text{см}$.
Из этой зависимости $D_0 = 5.5~\text{см}$. Из непосредственных измерений $D_0=5.2~\text{см}$
Из формулы тонкой линзы
\[ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{Fa}{a-F},\]
а размер $w'$ изображения $A'$ равен $W_A \frac{b}{a}$ и не зависит от сфокусированности на экране.
При $a > a_0$ граница изображения на экране определяется лучем, проходящим через противоположный край линзы. Из геометрии:
\[ \frac{w - w'}{H-a-b} = \frac{D+w'}{b} \]
Путем преобразований получим:
\[ w = W_A \frac{H-a}{a} + D \frac{a^2-aH+FH}{aF} \]
При $a > a_0$ граница изображения на экране определяется лучем, проходящим через ближний край линзы. Из геометрии:
\[ \frac{w - w'}{a+b-H} = \frac{D-w'}{b} \]
Путем преобразований получим:
\[ w = W_A \frac{H-a}{a} - D \frac{a^2-aH+FH}{aF} \]
Линеаризация:
\[ (aH-a^2) = \pm \frac{F}{D} \left( wa - W_A (H-a) \right) + FH \]
$L_F$ | Граница синяя при $ a < a_0$, красная при $a > a0$ | |
$L_F$ | Граница красная при $ a < a_0$, синяя при $a > a0$ | $\times$ |
$L_f$ | Граница синяя при $ a < a_0$, красная при $a > a0$ | |
$L_f$ | Граница красная при $ a < a_0$, синяя при $a > a0$ | $\times$ |
Как видно из эксперимента при $a > a_0$ границы изображения синие, из этого следует, что синие лучи фокусируются ближе ($b_b < b_r$), из чего следует
\[ \frac{1}{b_b} > \frac{1}{b_r} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{F_b} > \frac{1}{F_r}, \]
откуда следует ответ из формулы шлифовщика:
\[ \frac{1}{F} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \]
$L_F$ | $n_b > n_r$ | $\times$ |
$L_F$ | $n_r > n_b$ | |
$L_f$ | $n_b > n_r$ | $\times$ |
$L_f$ | $n_r > n_b$ |
Высота сфокусированного изображения $h$ выражается через высоту спирали $H_A$:
\[ \frac{H_A}{a} = \frac{w}{H-a}. \]
Найдем $a$ из формулы тонкой линзы:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{H-a} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad a^2-aH+FH=0 \]
Из двух корней нас интересует меньший $a = \frac{1}{2} \left(H- \sqrt{H^2-4FH} \right)$.
В таком случае линейной с коэффициентом наклона $H_A$ оказывается зависимость $h$ от $X_2$, где
\[ X_2= \frac{H+\sqrt{H^2-4FH}}{H-\sqrt{H^2-4FH}}\]
Формулы тонкой линзы:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad b =\frac{aF}{a-F},\]
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{L_1-x} = \frac{1}{f}, \quad L_1=H-a-b \]
Получим уравнение на $x$ из второй формулы тонкой линзы:
\[x^2 - xL_1 - fL_1 =0,\quad \mathcal{D}=L_1^2-4fL_1,\quad x_{1,2} = L_1\frac{1\pm \sqrt{1-
\frac{4f}{L_1}} }{2}.\]
При меньшем $x$ изображение больше, поэтому выбираем корень с минусом.
Теперь выразим высоту $h$ изображения $A''$, пусть высота $A'$ — $h'$. Из подобных треугольников:
\[ \frac{H_A}{a} = \frac{h'}{b}, \quad \frac{h'}{x}=\frac{h}{L_1-x}.\]
В итоге
\[h = \frac{L_1-x}{x} \frac{b}{a} H_A = \frac{1+ \sqrt{1-
\frac{4f}{L_1}}}{1- \sqrt{1-\frac{4f}{L_1}}}\frac{F}{a-F} H_A,\]
где $L_1 = H-a-\frac{aF}{a-F}$.
Таким образом линеаризация $h$ от $X_3$, где
\[ X_3 = \frac{1+ \sqrt{1- \frac{4f}{H-a-\frac{aF}{a-F}}}}{1- \sqrt{1-\frac{4f}{H-a-\frac{aF}{a-F}}}}\frac{F}{a-F}.\]
Увеличение телескопа Кеплера можно оценить, если сравнить видимое изображение линейки с другим известным размером. Например, на пластиковое обрамление линзы наклеить две полоски малярного скотча. На фотографии показан процесс таких измерений.