Logo
Logo

Отражение света от движущегося зеркала

Отражение света от движущегося зеркала

Отражение света от зеркала, движущегося с релятивистской скоростью, представляет собой давно известную теоретическую задачу. Эйнштейн предложил решение, использующее преобразования Лоренца для зеркала, движущегося со скоростью v. Однако та же формула может быть получена более простым способом. Рассмотрим в лабораторной системе отсчета процесс отражения света (см. рис. 1) от плоского зеркала M, движущегося со скоростью $\vec{\boldsymbol{v}} = v \vec{\boldsymbol{e}}_x$ (где $\vec{\boldsymbol{e}}_x$ — единичный вектор в направлении оси $x$). Скорость составляет угол $\varphi$ с плоскостью зеркала ($\varphi \le 90^\circ$, рис. 1). Луч света падает на зеркало под углом $\alpha$ и отражается под углом $\beta$, углы падения и отражения отсчитываются от вектора нормали к плоскости зеркала $n$ до падающего луча 1 и отражённого луча 1' соответственно. Можно показать, что справедливо соотношение \begin{equation} \sin \alpha - \sin \beta = \frac{v}{c} \sin \varphi \sin \left( \alpha + \beta \right) \tag{1} \end{equation}

Отражение света движущимся зеркалом

Часть А. Зеркало Эйнштейна

Около века назад Эйнштейн вывел закон отражения электромагнитной волны от зеркала, движущегося с постоянной скоростью $\vec{\boldsymbol{v}} = -v \vec{\boldsymbol{e}}_x$ (рис. 2). Применив преобразования Лоренца к результату, полученному в системе отсчёта, связанной с зеркалом, Эйнштейн нашёл, что \begin{equation} \cos \beta = \frac{\left( 1 + \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right) \cos \alpha - 2\frac{v}{c}}{1 - 2\frac{v}{c}\cos \alpha + \left( \frac{v}{c} \right)^2} \tag{2} \end{equation}

Зеркало Эйнштейна, движущееся влево со скоростью $v$

A1  3.00 Выведите эту формулу, используя уравнение (1) и не используя преобразования Лоренца.

Часть B. Сдвиг частоты

B1  2.00 Пусть в ситуации, описанной в части A, на зеркало М падает монохроматический свет частоты $f$. Найдите частоту отражённого света $f'$. Найдите $\Delta f$ в процентах от $f$ в случае $\alpha = 30 ^\circ$ и $v = 0.6c$ (рис. 2).

Часть C. Уравнение для движущегося зеркала

На рис. 3 показаны положения зеркала в моменты времени $t_0$ и $t$. Так как наблюдатель двигается влево, то зеркало относительно него двигается вправо. Луч света 1 падает в точку $a$ в момент времени $t_0$ и отражается как луч 1'. Луч 2 падает в точку $d$ в момент времени $t$ и отражается как луч 2'. Таким образом $ab$ –- волновой фронт падающей волны в момент времени $t_0$. Атомы зеркала в каждой точке возбуждаются падающим светом и начинают излучать световые волны. Возбуждение, вызванное участком $ab$ волнового фронта прекращается в момент времени $t$, когда волновой фронт падающей волны проходит точку $d$.

C1  5.00 Используя рис. 3 как схему распространения световой волны или любые другие методы, выведите уравнение (1).