Парадокс Шокли-Джеймса

В 1905 году Альберт Эйнштейн предложил специальную теорию относительности, которая разрешила противоречия между классической механикой Ньютона и теорией электромагнетизма Максвелла. Детальная разработка теории привела к разрешению многих очевидных парадоксов. В то время, обсуждение сосредоточилось главным образом на проблеме распространения электромагнитных волн.

В этой задаче мы разрешим парадокс другого типа. Для довольно простой системы зарядов, рассмотренной В. Шокли и Р.П. Джеймсом в 1967 году, выполнение закона сохранения импульса требует тщательного релятивистского анализа. Если заряженная частица расположена около магнита с изменяющейся намагниченностью (то есть изменяющимся магнитным полем), то на заряд действует электрическая сила, но нет никакой очевидной противодействующей силы, приложенной к магниту. Процесс изменения намагниченности может быть сделан достаточно медленным, так что электромагнитным излучением (и уносимым им импульсом) можно пренебречь. Таким образом, мы получаем нечто вроде орудия без отдачи.

В нашем анализе достаточно простой системы мы продемонстрируем, что в релятивистской механике составное тело может получить ненулевой момент импульса, оставаясь в то же время в состоянии покоя.

Часть A. Вычисление импульса точечной заряженной частицы (3.3 балла)

Рассмотрим круговой виток радиуса $r$, по которому течет ток $I_1$, и второй, гораздо больший круговой виток радиуса $R \gg r$, концентрический с первым (то есть центры окружностей совпадают) и лежащий в той же самой плоскости.

A1 Ток $I_2$, протекающий через виток 2 (больший виток), создает магнитный поток $\Phi_{B1}$ через виток 1. Найдите отношение $M_{21} = \Phi_{B1}/I_2$. Его называют коэффициентом взаимной индукции.

B2 Учитывая, что коэффициенты взаимной индукции равны $M_{12} = \Phi_{B2}/I_1 = M_{21}$, то есть виток 1 тоже создает пропорциональный магнитный поток через виток 2, получите выражение для ЭДС $\varepsilon_2$, индуцированной в большей петле в результате изменения $\dot{I}_1 = dI_1/dt$ электрического тока в меньшей петле. Самоиндукцией большего витка 2 пренебречь.
Указание: индуцированная ЭДС по модулю скорости изменения магнитного потока через виток.

A3 ЭДС индукции, найденная вами в пункте A2, появляется благодаря касательной к витку составляющей вихревого электрического поля. Получите выражение для этой касательной составляющей электрического поля $E$ в витке радиуса $R$ как функцию скорости изменения тока $\dot{I}_1$.

Теперь удалим больший виток и вместо него рассмотрим массивный точечный заряд $Q$, расположенный на том же расстоянии $R$ от витка 1, как показано в рисунке 1. Считайте, что точечный заряд не успевает значительно сместится за время изменения тока в витке.

A4 Найдите полный импульс $\Delta p$, полученный точечным зарядом за время, в течении которого ток в малом витке изменяется от начального значения $I_1 = I$ до конечного значения $I_1 = 0$.

Часть B. Вычисление импульса отдачи кругового витка с током (4.4 балла)

Исследуем происхождение импульса отдачи, используя петлю другой, не круглой формы.

B1 Для начала рассмотрим прямолинейный проводник длиной $l$ и поперечным сечением $A$ по которому протекает электрический ток силой $I$. Ток обусловлен потоком заряженных частиц с массой покоя $m$ и зарядом $q$, распределенных однородно в проводнике с концентрацией $n$. Считайте, что заряженные частицы движутся в проводнике с одной и той же скоростью. Найдите полный релятивистский импульс $p$ заряженных частиц в проводнике.

Теперь рассмотрим квадратный виток со стороной $l$. На расстоянии $R \gg l$ от витка поместим точечный заряд $Q$; см. рисунок 2. Пусть в витке течет ток $I$. Считайте, что каждый проводник в витке в целом нейтрален. Считайте, что носители заряда в проводнике могут двигаться свободно вдоль витка не взаимодействуя с кристаллической решеткой, а сталкиваясь упруго со стенками проводника и делая таким образом повороты в углах витка. Взаимодействием между носителями заряда полностью пренебречь. Предположим также, что все носители заряда в каждой стороне витка всегда двигаются с одной и той же скоростью. Петля достаточно тяжела, так что ее движением можно пренебречь.

B2 Вычислите полный импульс $p_{hid}$ носителей в витке. Его называют "скрытым" импульсом.

Когда ток прекращается, то этот "скрытый" импульс передается витку, и он получает импульс, равный со знаком минус импульсу, приобретенному точечным зарядом $Q$. Это и есть недостающая отдача, которую мы искали (заметьте, что в начальном состоянии импульс также сосредоточен в электромагнитном поле, что важно для выполнения закона сохранения импульса всей системы).

Часть C. Подведение итогов (2.3 балла)

C1 Виток с током часто характеризуются магнитным моментом $\mu = I S$, где $I$ есть ток и $S$ есть площадь поперечного сечения витка. Выразите ответ, полученный в пункте A4 через $\mu$, $r$, $R$ и $Q$. Аналогично, выразите полученный в пункте B2 ответ через $\mu$, $l$, $R$ и $Q$. Помните, что электрические и магнитные постоянные связаны соотношением:
\begin{equation*}
\frac{4 \pi k}{\mu_0} = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2,
\end{equation*}
где $c$ – скорость света.

С2 В более реалистической модели, виток – это проводник, так что электрическое поле заряженной частицы $Q$ не может в него проникнуть. Предположим, что электрический ток по прежнему обусловлен носителями заряда. Определите, какое из следующих утверждений правдиво или ложно, и укажите правильный ответ в Листе Ответов.
Внимание: вы можете оставить какое-то утверждение без ответа, но если вы дадите хотя бы один неправильный ответ, то вы не получите никаких баллов за весь пункт C2.

I) Полный импульс витка с током и носителями зарядов равен нулю.
II) Поскольку ток в витке изменяется от $I$ до нуля, значит носители заряда в проводнике замедляются, что приводит к появлению индуцированного тока в самом витке. Из-за этих индуцированных токов заряженная частица $Q$ не получает никакого импульса.
III) При изменении силы тока в витке от $I$ до нуля, внешний точечный заряд вызывает перераспределение носителей заряда по сечению проводника, что приводит к появлению дополнительной электрической силы. Таким образом, виток получает импульс, найденный в пункте B2.