Свет представляет собой электромагнитную волну, поэтому участвует в интерференции так же, как и, например, звуковые волны. Точно так же мы знаем, что в пределе геометрической оптики свет при прохождении через каплю воды раскладывается в спектр, поскольку показатель преломления воды зависит от длины волны. В этой задаче мы попробуем выяснить, что будет происходить с радугой под влиянием обоих этих эффектов.

Часть A. Дифракция

Начнём с дифракции. Как показано на рисунке 1, рассмотрим падение на щель ширины $D$ монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси $x$:\[u(x,t)=A\cos\big[\omega t-kx+\phi\big].\]Здесь $k$ – волновой вектор, $\omega$ – частота волны, а $\phi$ – её начальная фаза. Экран находится на расстоянии $L$ от щели, оба они перпендикулярны направлению распространения волны.

A1 Найдите разность фаз $\Phi$ между точками $P$ и $Q$ с точностью до первого неисчезающего члена по $\frac yR,~R=\sqrt{Y^2+L^2}$. Выразите ответ через волновой вектор света $k$, а также $y$, $Y$ и $L$.

A

Таким образом, чтобы найти амплитуду волны на экране, необходимо вычислить интеграл вида:\[\int_{-D/2}^{D/2}\cos\big(\omega t-\Phi(y)\big)~\mathrm dy.\]

A2 Вычислите этот интеграл, выразив ответ через угловую частоту волны $\omega$, а также $k$, $D$, $Y$ и $R$.

A

A3 Найдите, при каком $\frac YL$ амплитуда в первый раз обращается в ноль. Выразите ответ через $D$ и длину волны света $\lambda$. Упростите ответ, записав его в первом приближении при $\frac\lambda D\ll1$.

A

Часть B. Радуга

Радуга появляется, когда капли воды рассеивают солнечный свет. Рассмотрим основную причину её образования – т.н. радужное рассеяние. Как показано на рисунке 2, рассмотрим горизонтальный луч, падающий на сферическую каплю воды радиусом $a$ с прицельным параметром $b$. Углы падения и преломления обозначим соответственно как $\theta$ и $\theta'$.

B1 Выразите $\sin\theta$ и $\sin\theta'$ через $a$, $b$ и показатель преломления воды $n$. Показатель преломления воздуха считайте равным единице.

A

В точке $B$ часть световых лучей выходит из капли, а часть отражается и попадает в точку $C$.

B2 Выразите угол $\alpha$ через $\theta$ и $\theta'$.

A

Характерный график зависимости $\alpha$ от отношения $\frac ba$ показан на рисунке 3. В общем случае угол $\alpha\to0~\left(\frac ba\to0\right),~\dot\alpha(\frac ba)\to-\infty~\left(\frac ba\to1\right)$, и при некотором значении $b$ он достигает максимума $\alpha_0$. Рассеяние, происходящее под углом $\alpha_0$, называется радужным.

B3 Найдите, при каком $\frac ba$ угол $\alpha$ будет иметь максимум, если $n < 2$.

A

B4 Найдите численно это значение $\frac ba$ и максимальное значение угла $\alpha$, если показатель преломления воды равен $n=1.333$.

A

B5 Найдите численно значения функции $\frac1a\left|\frac{\mathrm db}{\mathrm d\alpha}\right|$ в точках $\frac ba=0,0.6,0.8,0.86,0.9$ и по этим точкам постройте её график.

A

В дальнейшем сосредоточимся исключительно на радужном рассеянии. Показатель преломления воды уменьшается с длиной волны в видимом диапазоне. Эту зависимость в линейном приближении можно выразить в виде:\[n=1.333-K\frac{\delta\lambda}{\lambda_0},\]где $K=0.018$, а $\lambda_0=589~нм$ – длина волны линии натрия, принимаемой как эталон. Длина волны красного света равна $700~нм~(\delta\lambda_\mathrm r=111~нм)$, фиолетового – $400~нм~(\delta\lambda_\mathrm v=-189~нм)$.

B6 Найдите разность углов радужного рассеяния для красного и фиолетового цветов, $\alpha_{0\mathrm r}-\alpha_{0\mathrm v}$.

A

Часть C. Дифрадуга

Учитывая волновую природу света, несложно понять, что увидеть радугу можно лишь через капли размера больше некоторого критического. Поскольку радужное рассеяние происходит в довольно узком диапазоне $b$, будем считать, что капля эквивалентная щели шириной примерно $0.2a$. Ясно, что если характерный угловой размер дифракционного пятна будет больше, чем разность углов, под которыми происходит радужное рассеяние для красного и фиолетового света, радугу видно не будет.

C1 Исходя из этих данных, определите критический радиус капли $a_\mathrm{cr}$.

A

C2 Как будет выглядеть радуга при критическом радиусе капель?

A

Местность Одзегахара, охватывающая префектуры Гумма, Ниигата и Фукусима, а также город Сан-Франциско в США известны частыми появлениями такой "критической" радуги. Почему бы вам не взглянуть на неё самим, если будет возможность?