Термоэлектричество — общее название явлений прямого преобразования электричества в теплоту и наоборот, теплоты в электричество. Термоэлектричество, как правило, основано на контактной разнице потенциалов в проводниках и полупроводниках. Работа выхода электрона из материала разнится для разных проводников, а потому имеет место такой эффект, как контактная разница потенциалов. Контактная разница потенциалов, как правило, зависит только от материалов, которые контактируют друг с другом. В зависимости от температуры, контактная разница потенциалов может меняться. Эта зависимость может быть описана простой формулой (температура в кельвинах):
$$U(T)=\beta+\alpha T
$$
Здесь и далее считать, что напряжение в формуле – $\textbf{потенциал первого металла минус потенциал второго}$.

Помимо прочих термоэлектрических эффектов, одним из самых интересных является эффект Пельтье. Эффект Пельтье заключается в том, что при прохождении тока $I$ через напряжение $U$ на контакте выделяется тепловая мощность $UI$ (прямой эффект Пельтье). Но если электрическую схему собрать так, что ток будет проходить через контактную разницу
потенциалов в обратном направлении, т.е. ток потечет от меньшего потенциала к большему, то контакт будет $\textbf{забирать}$ тепловую мощность $UI$ из окружающей среды (обратный эффект Пельтье).

Часть A

Через два теплоизолированных сосуда с водой проходят два провода из разных материалов сопротивлением $R_1$ и $R_2$. На контакте потенциал проводника $2$ всегда выше, чем у проводника $1$. У проводов нет электрического контакта ни с водой, ни с материалом сосудов, их теплопроводность мала. Температура сосуда $T_2>T_1$.

A1  ^1.00 Найдите величину тока в схеме, если коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ заданы. Найдите мощности $P_1$ и $P_2$, выделяющиеся на обоих контактах.

A2  ^1.00 Из общих термодинамических соображений и условия укажите знак коэффициентов $\alpha$ и $\beta$.

A3  ^1.00 Из общих термодинамических соображений и условия найдите минимально возможное значение коэффициента $\beta$.

A4  ^0.50 Пометьте в листе ответов плюсом контакты с прямым эффектом Пельтье и минусом с обратным, а также укажите стрелкой направление тока в цепи.

Часть B

Пусть оба сосуда заполнены водой массой $m=1~\text{кг}$. Первый сосуд имеет температуру $T_{1,0}=0^{\circ}\text{C}$, а второй $T_{2,0}=100^{\circ}\text{C}$. Коэффициент $\beta$ из предыдущей части принимает минимальное значение.

B1  ^1.50 Найдите температуры $T_1$ и $T_2$ первого и второго сосудов в момент, когда в системе остановится ток.

B2  ^1.00 Найдите тепло $Q_1$ и $Q_2$, выделившееся на резисторах

Часть C

На основе приведенной схемы можно собрать простую термобатарею. Пусть во втором сосуде находится вода при $T_2=273~\text{К}$, а в первом – жидкий азот при атмосферном давлении, его температура равна температуре кипения $T_1=77~\text{К}$. В дальнейшем используйте обозначение $\Delta{T}=T_2-T_1$. Считайте, что жидкий азот и вода постоянно подливаются в систему, а лед не намерзает на провода.

Перенос энергии в результате теплопроводности описывается законом Фурье. Плотность потока энергии $q$ через сечение провода определяется теплопроводностью материала провода $\chi$ и распределением температуры по длине $T(x)$:
$$q=-\chi\cfrac{dT}{dx}
$$

C1  ^0.50 Найдите максимально выдаваемое напряжение такой батареи $U_0$, если $\alpha=1000~\text{мВ}/\text{К}$.

C2  ^2.50 Считая, что основные теплопотери происходят в проводе между двумя резервуарами (левом), и пренебрегая потерями в проводах, ведущих на нагрузку, а также стенках резервуара, найдите такое значение тока $I_0$, при котором отношение полезной работы к теплу, получаемому азотом, максимально. Найдите значение этого максимального коэффициента. Теплопроводность $\chi$ и удельное сопротивление $\rho$, а также сечение $S$ и длину $l$ левого провода считайте заданными. Провод, находящийся между резервуарами, проходит в основном снаружи. Считайте, что $\frac{\alpha^2\Delta{T}}{\rho\chi}\gg{1}$.