Введение

Бистабильные нелинейные полупроводниковые элементы (например, тиристоры) широко используются в электронике в качестве переключателей и генераторов электромагнитных колебаний. С помощью тиристоров обычно управляют переменными токами в силовой электронике, например преобразуют мегаваттные переменные токи в постоянные. Бистабильные элементы также могут быть модельными системами для изучения самоорганизации в физике (это рассматривается в части B этой задачи), в биологии (часть C) и в других областях современной нелинейной динамики.

В этой задаче мы изучим неустойчивости и нетривиальные динамические свойства электрических цепей, содержащих элементы с нелинейными вольт-амперными характеристиками. Мы также рассмотрим возможные применения подобных схем в электронике и в моделировании биологических систем.

Часть А. Стационарные состояния и неустойчивости (3.0 балла)

На рисунке 1 показана так называемая S-образная вольт-амперная характеристика нелинейного элемента $\mathrm X$. В диапазоне напряжений между $U_\mathrm h = 4.00~В$ (удерживаемое напряжение) и $U_\mathrm{th} = 10.0~В$ (пороговое напряжение) эта вольт-амперная характеристика многозначна. График на рисунке 1 является ломанной (каждая ветвь представляет собой отрезок). Если верхнюю ветвь графика продлить, то она пройдет через начало координат. Это приближение хорошо описывает реальные тиристоры.

A1  ^0.40 С помощью графика определите сопротивление $R_{\text{on}}$ элемента $\mathrm X$ на верхней ветви вольт-амперной характеристики и $R_{\text{off}}$ на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением \begin{equation} I = I_0 - \frac{U}{R_{\text{int}}}. \end{equation}Найдите значения параметров $I_0$ и $R_{\text{int}}$.

Элемент $\mathrm X$ соединен последовательно (рисунок 2) с резистором $R$, катушкой индуктивности $L$ и идеальным источником напряжения $\mathcal{E}$. Если электрическая цепь находится в стационарном состоянии, то сила тока постоянна во времени, $I(t) = \text{const}$.

A2  ^1.00 Сколько возможных стационарных состояний может иметь электрическая цепь, изображенная на рисунке 2, при некотором заданном значении $\mathcal{E}$ и при $R = 3.00~\Omega$? Каким будет ответ при $R = 1.00~\Omega$?

A3  ^0.60 Пусть в электрической цепи, показанной на рисунке 2, $R = 3.00~\Omega$, $L = 1.00~мкГн$ и $\mathcal{E} = 15.0~В$. Определите значения сила тока $I_{\text{stationary}}$ и напряжения $V_{\text{stationary}}$ на нелинейном элементе $X$ в стационарном состоянии.

Пусть электрическая цепь на рисунке 2 находится в стационарном состоянии с $I(t) = I_{\text{stationary}}$. Стационарное состояние называется устойчивым, если после небольшого изменения тока (увеличения или уменьшения) значение тока возвращается к стационарному состоянию. Однако, если система продолжает уходить от стационарного состояния, то оно называется неустойчивым.

A4  ^1.00 Используйте численные значения заданные в А3 и изучите стабильность стационарного состояния с $I(t) = I_{\text{stationary}}$. Является ли стационарное состояние устойчивым или неустойчивым?

Бистабильные нелинейные элементы в физике: радиопередатчик (5.0 баллов)

В этой части мы исследуем новую схему электрической цепи (рисунок 3). Нелинейный элемент $\mathrm X$ соединен с конденсатором емкостью $C = 1.00~мкФ$ параллельно. Этот блок включен последовательно с резистором $R = 3.00~\Omega$ и идеальным источником постоянного напряжения $\mathcal{E} = 15.0~В$. Оказывается, что в этой цепи возникают колебания. За время одного периода колебаний свойства элемента $\mathrm X$ «перескакивают» по вольт-амперной характеристике с одной ветви на другую.

B1  ^1.80 Нарисуйте цикл одного колебания на вольт-амперной характеристике, в том числе, укажите направление колебания (по часовой или против часовой стрелки). Обоснуйте свой ответ с помощью уравнений и схем.

B2  ^1.90 Найдите формулы для времён $t_1$ и $t_2$, в течение которых система находится на каждой из ветвей вольт-амперной характеристики во время периода колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний $T$, полагая, что временем, необходимым для скачкообразного перехода между ветвями вольт-амперной характеристики, можно пренебречь.

B3  ^0.70 Оцените среднюю мощность $P$, рассеянную нелинейным элементом в течение одного колебания. Достаточно привести порядок величины.

Электрическая цепь, показанная на рисунке 3, может использоваться для создания радиопередатчика. Для этого элемент $\mathrm X$ подключается к одному из концов антенны длины $s$. Антенна – это длинный прямой провод. Противоположный конец провода свободный. В антенне образуется стоячая электромагнитная волна. Скорость электромагнитной волны в антенне такая же, как и в вакууме. Передатчик настроен на основную гармонику системы с периодом $T$ (из пункта B2).

B4  ^0.60 Каково оптимальное значение $s$, если считать, что оно не может быть больше $1~ км$?

Часть C. Бистабильные нелинейные элементы в биологии: нейристор (2.0 балла)

В этой части задачи мы рассмотрим применение бистабильных нелинейных элементов к моделированию биологических процессов. Нейрон в человеческом мозге обладает следующим свойством: при возбуждении внешним сигналом он совершает одно колебание, а затем возвращается в исходное состояние. Эта свойство называется возбудимостью. Благодаря этому свойству импульсы могут распространяться в сети связанных нейронов, которые образуют нервные системы. Полупроводниковый чип, предназначенный для имитации возбудимости и распространения импульса, называется нейристором.

Попробуем смоделировать простой нейристор, используя электрическую схему с исследованным ранее нелинейным элементом $\mathrm X$. Для этого напряжение $\mathcal{E}$ в схеме на рисунке 3 уменьшается до $\mathcal{E}' = 12.0~В$. Колебания прекращаются и система переходит в свое стационарное состояние. Затем напряжение быстро увеличивается до $\mathcal{E} = 15.0~В$ и спустя некоторое время $\tau$ ($\tau < T$) возвращается обратно к $\mathcal{E}'$ (рисунок 4). Оказывается, что есть некоторое критическое значение $\tau_{crit}$, такое, что поведение системы качественно отличается при $\tau < \tau_{crit}$ при $\tau > \tau_{crit}$.

C1  ^1.20 Схематически нарисуйте графики временной зависимости тока $I_\mathrm X(t)$ через нелинейный элемент $\mathrm X$ для $\tau < \tau_{\text{crit}}$ и для $\tau > \tau_{\text{crit}}$.

C2  ^0.60 Найдите выражение для критического времени $\tau_{\text{crit}}$ и его численное значение, при котором происходит изменение поведения системы.

C3  ^0.20 Является ли схема нейристором при $\tau = 1.00 \cdot 10^{-6}~с$?