A1  ^0.40 С помощью графика определите сопротивление $R_{\text{on}}$ элемента $\mathrm X$ на верхней ветви вольт-амперной характеристики и $R_{\text{off}}$ на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением \begin{equation} I = I_0 - \frac{U}{R_{\text{int}}}. \end{equation}Найдите значения параметров $I_0$ и $R_{\text{int}}$.

Снимаем значения с ВАХ:

A2  ^1.00 Сколько возможных стационарных состояний может иметь электрическая цепь, изображенная на рисунке 2, при некотором заданном значении $\mathcal{E}$ и при $R = 3.00~\Omega$? Каким будет ответ при $R = 1.00~\Omega$?

Закон Кирхгофа для цепи:\[\mathcal E=IR+U.\]Тогда в стационарном состоянии напряжение $U$ на нелинейном элементе и ток через него связаны как:\[I=\frac{\mathcal E-U}{R}.\]Стационарные состояния определяются пересечением этой зависимости с ВАХ нелинейного элемента. При $R=3.00~\Omega$ может существовать только одно пересечение этих кривых.

При $R=1.00~\Omega$ при разных значениях ЭДС могут быть 1, 2 или 3 пересечения.

A3  ^0.60 Пусть в электрической цепи, показанной на рисунке 2, $R = 3.00~\Omega$, $L = 1.00~мкГн$ и $\mathcal{E} = 15.0~В$. Определите значения сила тока $I_{\text{stationary}}$ и напряжения $V_{\text{stationary}}$ на нелинейном элементе $X$ в стационарном состоянии.

Стационарное состояние находится на промежуточной ветви ВАХ, поэтому координаты точки пересечения можно найти как:\[I_\mathrm{stationary}=\frac{\mathcal E-R_\mathrm{int}I_0}{R-R_\mathrm{int}}=3.00~А,\quad U_\mathrm{stationary}=R_\mathrm{int}(I_0-I_\mathrm{stationary})=6.00~В.\]

A4  ^1.00 Используйте численные значения заданные в А3 и изучите стабильность стационарного состояния с $I(t) = I_{\text{stationary}}$. Является ли стационарное состояние устойчивым или неустойчивым?

Второй закон Кирхгофа для цепи в нестационарном состоянии:\[\mathcal E=IR+U_\mathrm X+L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=IR+(I_0-I)R_\mathrm{int}+L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}\implies \\\implies L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=\mathcal E-I_0R_\mathrm{int}-(R-R_\mathrm{int})I=-(R-R_\mathrm{int})(I-I_\mathrm{stationary}).\]Таким образом, ток будет экспоненциально релаксировать к стационарному значению, а значит состояние будет устойчивым.

B1  ^1.80 Нарисуйте цикл одного колебания на вольт-амперной характеристике, в том числе, укажите направление колебания (по часовой или против часовой стрелки). Обоснуйте свой ответ с помощью уравнений и схем.

B2  ^1.90 Найдите формулы для времён $t_1$ и $t_2$, в течение которых система находится на каждой из ветвей вольт-амперной характеристики во время периода колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний $T$, полагая, что временем, необходимым для скачкообразного перехода между ветвями вольт-амперной характеристики, можно пренебречь.

Что на верхней, что на нижней ветке ВАХ цепь ведёт аналогично $RC$-контуру с конденсатором ёмкостью $C$ и резистором с сопротивлением $\dfrac{R_\mathrm{on/off}R}{R_\mathrm{on/off}+R}$ и источником напряжения с ЭДС:\[U_\mathrm{on/off}=\frac{R_\mathrm{on/off}}{R_\mathrm{on/off}+R}\mathcal E.\]Таким образом, зависимость напряжения от времени на каждой из ветвей будет задаваться выражением:\[U_\mathrm X(t)=U_\mathrm{on/off}+(U_\mathrm{th/h}-U_\mathrm{on/off})\exp\left[-\dfrac{R_\mathrm{on/off}+R}{R_\mathrm{on/off}RC}t\right].\]Отсюда можно найти время, которое система провела на нижней ветви:

А также время, которое система провела на верхней ветви:

Период равен сумме этих времён:\[T=t_\mathrm{on}+t_{\mathrm{off}}=6.12\cdot10^{-6}~с\]

B3  ^0.70 Оцените среднюю мощность $P$, рассеянную нелинейным элементом в течение одного колебания. Достаточно привести порядок величины.

Поскольку напряжение на нижней ветви ВАХ намного меньше напряжения на верхней, в рамках оценки можно пренебречь потерями энергии на нижней ветви. При этом на верхней ветви потери можно примерно оценить, исходя из среднего арифметического напряжений $U_\mathrm h$ и $U_\mathrm{th}$:\[E=\frac{1}{R_\mathrm{on}}\left(\frac{U_\mathrm h+U_\mathrm{th}}2\right)^2t_\mathrm{on}=1.18\cdot10^{-4}~Дж.\]Таким образом, мощность будет равна:\[P\sim\frac{E}{T}=19.3~Вт\]

Примечание. Точный расчёт даёт ответ:\[P=17.29~Вт,\]поэтому приведённая оценка довольно близка к правде.

B4  ^0.60 Каково оптимальное значение $s$, если считать, что оно не может быть больше $1~ км$?

Длина радиоволны равна $\lambda=cT=1.82\cdot10^3~м$. Оптимальную длину имеет антенна длиной $\left(\dfrac k2-\dfrac14\right)\lambda,~k\in\mathbb N$ (на границе антенны – узел тока, в начале – пучность). Единственное оптимальное значение меньше $1~км$ – это $\lambda/4=459~м$.

C1  ^1.20 Схематически нарисуйте графики временной зависимости тока $I_\mathrm X(t)$ через нелинейный элемент $\mathrm X$ для $\tau < \tau_{\text{crit}}$ и для $\tau > \tau_{\text{crit}}$.

При $\tilde{\mathcal E}=12.0~В$ стационарное состояние нелинейного элемента будет находиться на нижней ветви ВАХ. Равновесное напряжение будет равно:\[\tilde U=\frac{R_{\mathrm{off}}}{R+R_\mathrm{off}}\tilde{\mathcal E}=9.23~В.\]Когда напряжение возрастает до $\mathcal E=15.0~В$, система движется вдоль нижней ветви ВАХ в сторону увеличения напряжения.

• Если система не достигает $U_\mathrm{th}$ с моменту $\tau$, она возвращается в исходное состояние по нижней ветви.
• Если система достигает $U_\mathrm{th}$ до момента $\tau$, она перескакивает на верхнюю ветвь ВАХ. Пока система находится на верхней ветви ВАХ, напряжение успевает вернуться к исходному (т.к. $\tau < T$), и система возвращается в стационарное состояние, сделав одно колебание.

C2  ^0.60 Найдите выражение для критического времени $\tau_{\text{crit}}$ и его численное значение, при котором происходит изменение поведения системы.

Время, которое требуется системе для достижения критического напряжения $U_\mathrm{th}$:

C3  ^0.20 Является ли схема нейристором при $\tau = 1.00 \cdot 10^{-6}~с$?

Поскольку $\tau > \tau_\mathrm{crit}$, система совершит колебание, то есть будет вести себя как нейристор.