Pho.rs: Весы

Условие

В этой задаче вам предлагается изучить работу электронных весов. Принцип их работы, как и у пружинных весов, основан на измерении деформации тела под механической нагрузкой. Деформируемым телом является балка прямоугольного сечения, прикрепленная одним концом к корпусу весов, а другим к платформе, на которую устанавливается измеряемый груз. Толщина балки $d$. Под нагрузкой балка изгибается. Измерение деформации производится с помощью двух одинаковых тензорезисторов №1 и №2, жестко приклеенных на верхнюю и нижнюю части балки соответственно. То есть при деформации балки длина резистора изменяется также, как длина участка поверхности, на который он приклеен.

Тензорезистор представляет змейку из проводящей фольги, наклеенную на поверхность балки. При деформации балки фольга растягивается или сжимается, за счет чего ее сопротивление соответственно увеличивается или уменьшается. Зависимость сопротивления тензорезистора от относительного удлинения(сжатия) $\varepsilon$ поверхности, на которую он приклеен, задается выражением:
$$R_{1,2}=R_0 (1+k\varepsilon),$$где $R_0$ — сопротивление при отсутствии деформации, $k$ — тензометрический коэффициент. Величина $k$ лежит в пределах от 1 до 2.

Тензорезисторы включены в электрическую цепь с двумя обычными резисторами $R_3$, источником постоянного напряжения и вольтметром. Сопротивления резисторов $R_3$ равны $R_0$ (сопротивлению тензорезистора при отсутствии деформации).

Когда на платформу весов ставят груз, балка изгибается, при этом верхняя часть балки растягивается, а нижняя сжимается. Некоторая линия внутри балки остается недеформируемой (в дальнейшем недеформируемая линия), то есть ее длина при изгибе балки остается неизменной. Участок балки, к которому приклеены тензорезисторы, можно представить в виде дуги окружности. Радиус кривизны недеформируемой линии в месте крепления тензорезисторов обратно пропорционален массе груза $m$, поставленного на платформу весов:
$$r=\cfrac{\alpha}{m},$$где $\alpha$ — некоторый известный коэффициент. При этом значение радиуса кривизны много больше толщины балки, и изменением толщины балки можно пренебречь.

Массу платформы и балки в рассматриваемой модели учитывать не будем. Вольтметр будем считать идеальным.

Предположим, что недеформируемая линия проходит через середину балки.

1 Выразите величину относительной деформации $\varepsilon_1$ тензорезистора №1 через величины $r$ и $d$.

2 Выразите величину относительной деформации $\varepsilon_2$ тензорезистора №2 через величины $r$ и $d$.

Зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза с учетом малости деформации балки может быть представлена в виде:
$$U=\gamma m^n,$$где $n$ — целое число, $\gamma$ — коэффициент пропорциональности.

3 Определите $n$ и $\gamma$.

4 Теперь предположим, что недеформируемая линия проходит на расстоянии $x=d/4$ от верхней поверхности балки. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой $m$.

5 Весы перенесли в более теплое помещение, из-за этого они нагрелись. В процессе нагрева весов балка изменила свою длину, ее относительная деформация составила $\varepsilon_3$ (порядка величин $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$). Изменением толщины и ширины балки можно пренебречь. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой $m$. (Недеформируемая линия проходит посередине балки)

При решении задачи считайте известными величины:

$\mathcal{E}$ — напряжение источника питания;
$k$ — тензометрический коэффициент резисторов №1 и №2;
$m$ — масса груза, установленного на весы;
$\alpha$ — коэффициент пропорциональности между радиусом кривизны балки в месте крепления резисторов и массой груза в минус первой степени;
$d$ — толщина деформируемой балки;
$\varepsilon_3$ — относительное удлинения балки при ее нагреве.

Величину сопротивления резисторов $R_0$ считайте НЕизвестной.