Оборудование:
Акустические волны, распространяющиеся в металлических стержнях, существенно отличаются от волн в неограниченной среде. Строгий анализ распространения таких волн связан с довольно громоздкими математическими расчетами. Будем рассматривать волны, длина $\lambda$ которых велика по сравнению с радиусом $R$ стержня. Опишем распространение продольной волны вдоль оси тонкого стержня постоянного сечения площадью $S$. Стержень считается тонким в том случае, когда радиус стержня $R$ мал по сравнению с длиной волны $\lambda$, т.е. $R / \lambda \ll 1$.
Направим ось $x$ вдоль геометрической оси стержня (Рис. 1). Под действием продольной силы $F$ элементарный отрезок стержня $\Delta x$, ограниченный плоскостями $\Delta x$ и $x + \Delta x$, растянется или сожмется на величину $\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x} Δx$, где $\frac{\partial u}{\partial x}$ – относительное удлинение, т. е. деформация элемента стержня. Напряжение $\sigma$ (т.е. сила, действующая на единицу поперечного сечения стержня) согласно закону Гука равно
$$
\sigma = \frac{F}{S} = E \frac{\Delta u}{\Delta x} = E \frac{\partial u}{\partial x}, \tag{1}
$$где $E$ – модуль Юнга.
В результате переменной деформации вдоль оси стержня будет распространяться продольная волна. Действительно, в сечениях $x$ и $x + \Delta x$ напряжения будут различными, а их разность можно записать следующим образом:
$$
\sigma(x + \Delta x) - \sigma(x) = \frac{1}{S} \frac{\partial F}{\partial x} \Delta x = \frac{\partial \sigma}{\partial x} \Delta x = E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x. \tag{2}
$$Эта разность напряжений вызовет движение элемента стержня массой $m = S \rho \Delta x$ вдоль оси $x$ ($\rho$ – плотность материала стержня). Используя соотношения $(1)$ и $(2)$, на основании второго закона Ньютона уравнение движения этого элемента можно записать в виде:
$$
S \rho \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = S E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x. \tag{3}
$$Обозначив $c = \sqrt{E / \rho}$, выражение $(3)$ запишем в следующем виде:
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. \tag{4}
$$Это – волновое уравнение. Оно, в частности, описывает распространение продольных волн в стержне. Общее решение волнового уравнения можно представить в форме двух бегущих волн, распространяющихся в обе стороны вдоль оси $x$ со скоростью $c$:
$$
u(x, t) = g(ct - x) + h(ct + x), \tag{5}
$$где $g$ и $h$ – произвольные функции (определяемые начальными и граничными условиями), а $c$ – скорость распространения волны.
В случае гармонического возбуждения колебаний с частотой $f$ продольная волна в тонком стержне может быть представлена в виде суперпозиции двух бегущих навстречу друг другу синусоидальных волн:
$$
u(x, t)=A_1 \sin(ωt - kx + \varphi_1) + A_2 \sin(ωt + kx+ \varphi_2), \tag{6}
$$где $\omega = 2 \pi f$ – циклическая частота, коэффициент $k = 2 \pi / \lambda$ – волновое число. Здесь первое слагаемое описывает волну, бегущую в положительном направлении по оси $x$, второе – в отрицательном. Скорость их распространения $c = \omega / k$.
Соотношения между амплитудами $A_1$ и $A_2$ и начальными фазами $\varphi_1$ и $\varphi_2$, а также возможные частоты колебаний $\omega$ определяются граничными условиями на концах стержня. Предположим, во-первых, что при отражении волны от каждого из концов не происходит потери энергии – в таком случае будут одинаковы амплитуды «падающей» и «отражённой» волн на каждом из концов, то есть $A_1 \approx A_2 = A$.
Далее, если концы стержня не закреплены, то напряжение $(1)$ в них должно быть равно нулю. Положив координаты концов стержня равными $x = 0$ и $x = L$, запишем эти условия как
$$
\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x = 0} = \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x = L} = 0. \tag{7}
$$Соотношения $(7)$ должны выполняться в произвольный момент времени. Взяв производную по $x$ от $(6)$ в точке $x = 0$, получим, что для справедливости $(7)$ необходимо $\varphi_1 = \varphi_2 = \varphi$. Таким образом, при отражении синусоидальной волны от свободного конца стержня, её фаза не изменяется (если же концы закреплены, нетрудно получить, что фазы волн должны отличаться на $\pi$).
Теперь перепишем $(6)$, используя полученные условия для амплитуд и фаз, а также формулу суммы синусов:
$$
u(x, t)=2A \cos kx \sin(ωt+φ). \tag{8}
$$Колебания такого вида называют гармонической стоячей волной.
Подстановка второго условия $(7)$ в $(8)$ даёт уравнение $\sin kL = 0$, которое определяет набор допустимых значений волновых чисел $k_n L = \pi n$, $n = 1, 2, 3…$ или, выражая через длину волны, $L = n \lambda_n/2$. Таким образом, на длине стержня должно укладываться целое число полуволн.
Допустимые значения частот $f_n = c / \lambda_n = n \frac{c}{2L}$. Их называют собственными частотами колебаний стержня длиной $L$. Зависимость амплитуды смещения $u$ от координаты $x$ для собственных колебаний стержня с незакрепленными концами при $n = 1, 2, 3$ представлена на Рис. 2.
Заметим, что в реальной системе стоячая волна не может быть реализована в чистом виде: всегда существуют потери энергии, связанные, в том числе, с отражением волн на краях стержня ($A_1 \neq A_2$). Поэтому для поддержания колебаний необходимо наличие некоторого стороннего возбудителя.
Зная плотность материала и величину скорости $c$ можно вычислить модуль Юнга материала $E$. Для определения скорости $c$ в данной работе используется метод акустического резонанса. Это явление состоит в том, что при частотах гармонического возбуждения, совпадающих с собственными частотами колебаний стержня, резко увеличивается амплитуда колебаний, при этом в стержне образуется стоячая волна.
Схема экспериментальной установки приведена на Рис. 3.
Исследуемый стержень 5 размещается на стойке 10. Возбуждение и прием колебаний в стержне осуществляются электромагнитными преобразователями 4 и 6, расположенными рядом с торцами стержня. Крепления 9, 11 электромагнитов дают возможность регулировать их расположение по высоте, а также перемещать вправо-влево по столу 12.
Электромагнит 4 служит для возбуждения упругих механических продольных колебаний в стержне. На него с генератора звуковой частоты 1 подается сигнал синусоидальной формы. Сигнал с опорного выхода (выход синхронизации) генератора поступает на частотомер 2 и вход канала CH1(X) осциллографа 3.
Протекающий по катушке возбуждающего преобразователя 4 переменный ток $I_\sim$ создает магнитное поле $B_\sim$, пропорциональное $I_\sim$, в котором находится один конец стержня. На этот конец стержня будет действовать переменная сила $F_\sim$, величина которой пропорциональна $B^2$ (в случае немагнитных стержней на их концы наклеиваются тонкие диски из магнитной стали). Для получения линейной связи между возбуждающей силой $F_\sim$ и током $I_\sim$ в преобразователе имеется постоянный магнит, поле которого $B_0$ значительно больше $B_\sim$. В этом случае действующая на стержень переменная сила пропорциональна
$$
F_\sim \propto (B_0 + B_\sim )^2 \propto B_0^2 + 2B_0 B_\sim \propto B_0 I_\sim + const.,
$$т.к. $2B_0 B_\sim \gg B_\sim^2$.
Линейная связь между током и действующей силой позволяет определить частоту переменной силы по измерению частоты сигнала генератора.
Рядом с другим торцом стержня находится аналогичный электромагнитный датчик 6, который служит для преобразования механических колебаний в электрические.
При колебаниях стержня магнитное поле, в котором находится торец стержня, изменяется и вызывает ЭДС в электромагните 6. Амплитуда этой ЭДС пропорциональна амплитуде колебаний стержня, а частота совпадает с частотой генератора. При настройке генератора на резонансную частоту стержня амплитуда колебаний последнего резко возрастает. ЭДС, наводимая этими колебаниями в приемнике 6, усиливается усилителем 7. С выхода усилителя исследуемый сигнал подается на вход канала CH2(Y) осциллографа.
Перед включением осциллографа в сеть убедитесь, что органы управления осциллографа установлены следующим образом:
А) Блок горизонтальной развертки (HORIZONTAL):
Ручка POSITION — в среднем положении.
Кнопка ×10 MAG — отжата.
Ручка SWP.VAR — в крайнем правом положении (риска CAL).
Ручка TIME/DIV — 0,2 ms.
Б) Блок вертикального отклонения (VERTICAL):
Ручки POSITION — в среднем положении.
Внешние ручки VOLTS/DIV обоих каналов в положении 5 V/дел, а внутренние — утоплены.
Тумблеры AC–GND–DC обоих каналов — в положении GND (отключены).
Кнопки ALT/CHOP и INV CH 2 — отжаты.
Вход канала 1 CH1(X) — соединен с выходом сигнала синхронизации генератора.
Вход канала 2 CH2(Y) — соединен с усилителем регистрирующего датчика.
Переключатель VERTICAL–MODE — в положении DUAL.
В) Блок синхронизации (TRIGGER):
TRIG.ALT — отжата. LEVEL — в среднем положении.
Переключатель MODE — в положении AUTO.
SOURCE — в положении LINE.
SLOPE — отжата.
2. Для возбуждения колебаний стержня в работе используется генератор ГЗ–112. Перед началом эксперимента ручки генератора должны стоять в следующих положениях: частота – 20 Гц, множитель частоты – 102; выход – «∼» (синусоидальный сигнал); ослабление dB – 0.
3. Частота сигнала регистрируется частотомером GFC-8010H.
Соберите установку согласно Рис 3. Разместите электромагниты напротив торцов стержня так, чтобы торцы стержня совпали с центрами датчиков, а зазор между полюсами электромагнита и торцевой поверхностью стержней составлял $1–3 \ мм$. Плоскость магнитов должна быть строго перпендикулярна оси стержня. Не допускайте соприкосновения электромагнита со стержнем.
Подав на канал CH1(X) сигнал с генератора, а на канал CH2(Y) исследуемый сигнал с усилителя, можно получить на экране фигуру Лиссажу. Дальнейшие измерения, включая поиски резонансов, вы можете производить как с помощью фигур Лиссажу, так и рассматривая одновременно два синусоидальных сигнала, развернутых по времени. Выбранный вариант запишите в работе.
Во всех пунктах этой задачи необходимо оценивать погрешности.
Установите медный стержень длиной $L = (600 \pm 5) \ мм$. Подставка 10 должна быть расположена в середине стержня.
Дальнейшие эксперименты следует проводить со алюминиевым стержнем.
POWER (выключатель сетевого питания) — при включении выключателя загорается индикатор под кнопкой « POWER».
INTEN (яркость) — регулировка яркости изображения.
FOCUS (фокус) — регулировка фокуса изображения.
TRACE ROTATION (поворот) — регулировка угла наклона линии развертки изображения относительно линий шкалы экрана.
TIME/DIV — устанавливает коэффициент развёртки от 0,2 μc/дел (микросекунд на деление) до 0,5 с/дел (секунд на деление) 20 ступенями. При переводе в положение X–Y (крайнее левое) обеспечивается наблюдение фигур Лиссажу.
SWP.VAR (развертка плавно) — обеспечивает плавную регулировку коэффициента развёртки с перекрытием 2,5 раза в каждом положении переключателя время/дел. Обратите внимание! При измерении промежутков времени по расстоянию на экране осциллографа эта ручка должна находиться в крайнем правом положении (риска CAL).
POSITION (положение) — перемещает изображение по горизонтали.
$\times 10$ MAG (увеличение в 10 раз) — при нажатой кнопке скорость развёртки увеличивается в 10 раз.
CH 1(X) (канал 1) — вход канала 1. В режиме X–Y — входной канал X-оси.
CH 2(Y) (канал 2) — вход канала 2. В режиме X–Y — входной канал Y-оси.
AC–DC–GND — переключатели режима входов усилителя:
DC — открытый вход (на вход усилителя пропускается весь сигнал, включая постоянную составляющую);
AC — закрытый вход (на вход пропускается только переменная составляющая сигнала, то есть последовательно с источником сигнала и осциллографом включается конденсатор емкостью 1 мкФ);
GND — вход усилителя отключается от источника сигнала и заземляется.
POSITION (положение) — регулировка положения лучей обоих каналов по вертикали.
ALT/CHOP — при нажатии на кнопку коммутатор принудительно переключается в режим «попеременный». Происходит одновременная прорисовка обоих каналов – эффект двухлучевого осциллографа. Когда кнопка отжата в двухканальном режиме, режим работы коммутатора выбирается автоматически, исходя из положения ручки время/дел.
INV CH 2 (инвертирование в канале 2) — инвертирование сигнала в канале 2.
VOLTS/DIV (вольт/дел) — дискретные переключатели, устанавливающие коэффициенты отклонения каналов от 5 мВ/дел до 5 В/дел в 10 диапазонах. В середине 12 — ручка плавного изменения коэффициентов отклонения каналов с перекрытием не менее, чем в 2.5 раза в каждом положении переключателей В/дел. Когда ручка вытянута (режим $\times 5$), происходит увеличение размера изображения (чувствительности усилителя) в 5 раз. Для измерения амплитуд ручка должна находиться в крайнем левом положении.
Переключателями VERTICAL–MODE устанавливается режим работы для наблюдения двух сигналов одновременно или по очереди:
CH1 — на экране наблюдается сигнал канала 1.
CH2 — на экране наблюдается сигнал канала 2.
DUAL — на экране наблюдаются изображения сигналов обоих каналов.
ADD — на экране наблюдается алгебраическая сумма или разность (при нажатии кнопки CH 2 INV) сигналов каналов 1 и 2.
TRIG.ALT — при нажатии развертка поочередно синхронизируется сигналом с 1-го и 2-го каналов. В результате на экране осциллографа появляется устойчивая картина 1-го и 2-го каналов.
TRIGGER MODE — выбор режима работы запуска развертки:
AUTO — автоматический режим запуска развертки; используется, если нет сигнала синхронизации, или его частота меньше 25 Гц;
NORM — ждущий режим: развертка запускается только при наличии входного сигнала;
TV-V — синхронизация по вертикали (по кадрам, в работе не используется);
ТV-H — синхронизация по горизонтали (по строкам, в работе не используется).
SOURCE (источник) — выбирает режим внутренней и (или) внешней синхронизации:
CH1 (канал 1) (X–Y) — развертка синхронизируется сигналом с первого канала.
CH2 (канал 2) — развертка синхронизируется сигналом со второго канала.
LINE (сеть) — развёртка синхронизируется от питающей сети переменного напряжения.
EXT (внешний) — развёртка синхронизируется внешним сигналом.
LEVEL (уровень) — выбирает уровень исследуемого сигнала, при котором происходит запуск развёртки.
SLOPE (полярность) — переключатель полярности синхронизирующего сигнала:
"+": развёртки синхронизируются положительным перепадом исследуемого сигнала;
"–": развёртки синхронизируются отрицательным перепадом исследуемого сигнала.
