С помощью сверхпроводящих гравиметров можно измерять микроскопические отклонения ускорения свободного падения от своего среднего значения. Измеряя распределение этих отклонений с высокой точностью в течение длительного времени, можно получать не только сведения о внутренней структуре Земли (например, о движениях мантии, распределении массы, приливах Земли, распределении грунтовых вод и минералов), но и сведения о внешних процессах (например, об океанических приливах или изменении климата). Сверхпроводящие гравиметры имеют высокую чувствительность (до $10^{-9}$ от ускорения свободного падения на земной поверхности) и очень стабильны, потому широко используются в науке при изучении планеты. С увеличением числа сверхпроводящих гравиметров, созданием наблюдательной сети и совместным использованием данных возникают новые возможности для развития науки о Земле и проведения более точных опытов по проверке закона всемирного тяготения. В этой задаче будут рассмотрены принципы работы сверхпроводящего гравиметра и изменения ускорения свободного падения под действием грунтовых вод.
1
1.50
Землю можно считать однородным шаром радиуса $6370~\text{км}$, ускорение свободного падения на поверхности которого равно $g_0=9.80~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (эффектами вращения Земли пренебрегите). Предположим, что под землёй на глубине $15~\text{км}$ образовалось шарообразное озеро $20~\text{км}$ в диаметре, заполненное водой. Найдите, на какую величину $\Delta g$ изменится ускорение свободного падения на поверхности земли непосредственно над озером. Универсальная гравитационная постоянная равна $G=6.67\cdot10^{-11}~\frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}$, плотность воды $\rho_{\text{в.}}=1.0\cdot10^3~\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Основной частью сверхпроводящего гравиметра является сверхпроводящая сферическая оболочка, сделанная из ниобия $\text{Nb}$, подвешенная в магнитном поле. Для удобства дальнейших вычислений считайте её тонким сверхпроводящим кольцом, как показано на рисунке (a). Магнитное поле создаётся двумя тонкими коаксиальными сверхпроводящими неподвижными катушками, подобными катушкам Гельмгольца, с количествами витков $\alpha N$ и $N$. Перед началом работы гравиметра ток в кольце и катушках нулевой. Кольцо находится в плоскости нижней катушки ($z=0$) и соосно последней. В начале работы к катушкам прикладывается напряжение, позволяющее медленно увеличивать ток в катушках до величины $i_0$, при котором сверхпроводящее кольцо поднимется и будет находиться в плоскости верхней катушки ($z=R$). Температура катушек и кольца поддерживается равной $4.2~\text{К}$, поэтому они имеют нулевое сопротивление. После того, как кольцо приходит в равновесие, напряжение отключают, после чего ток в катушках и создаваемое им магнитное поле могут оставаться постоянными в течение долгого времени. Известно, что масса сверхпроводящего кольца $m$, его диаметр $D$ ($D \ll 2R$), а его индуктивность $L$. Вблизи плоскости верхней катушки, аксиальная и радиальная компоненты магнитного поля, создаваемого катушками, могут быть выражены как:$$B_z=B_0 \left[ 1 - \beta \left( z - R \right) \right]\\B_r=\frac{1}{2}\beta B_0r,$$где $B_0$ – магнитное поле в центре верхней катушки, $\beta$ — т.н. радиальный коэффициент, а $r$ — расстояние о центральной оси.
$\textit{Примечание}$: катушки Гельмгольца представляют собой две одинаковые коаксиальные катушки, расстояние между которыми равно их радиусу, и используются для создания областей однородного магнитного поля.
Чтобы точно измерить малые изменения ускорения свободного падения, в гравиметре используется метод балансировки моста на основе переменного тока. Чтобы понять принцип его работы и произвести расчёты, сверхпроводящее кольцо можно считать тонкой плоской пластинкой с площадью поверхности $A$, помещённой между двумя алюминиевыми пластинами такого же размера и формы, закреплённых соответственно в $z=R+\frac{d}{2}$ и $z=R-\frac{d}{2}$, образующими таким образом два конденсатора, обозначенных $C_1$ и $C_2$ соответственно, как показано на рисунке (b). Они соединены в мост с двумя парами идентичных катушки $L_0$ и конденсатора $C_0$. Мост подключен к источнику переменного тока (его частота много больше характерных обратных времён изменения гравитационного поля), как показано на рисунке (c). Предположим, что в некоторый момент времени ускорение свободного падения в окрестности гравиметра равно $g$, сверхпроводящее кольцо находится в положении равновесия $z=R$, мост сбалансирован, а к $C_1$ и $C_2$ приложено одинаковое постоянное напряжение $V_C$. Когда ускорение свободного падения изменится на величину $\Delta g$, мост больше не будет сбалансирован. Однако, когда постоянное напряжение на $C_1$ увеличивают на $\Delta V$, а на $C_2$ — уменьшают $\Delta V$, мост балансируется снова.