Глядя на звёздное небо, люди дают свободу своему бесконечному воображению. С развитием науки и технологий понимание людьми Вселенной углубляется. Особенно в $\text{XXI}$ веке, когда была приоткрыта завеса тайны над процессами осцилляций нейтрино, проведена непосредственная фиксация гравитационных волн и получены фотографии чёрной дыры, возрос широкий интерес общественности к изучению Вселенной. Но как люди используют ограниченные возможности оборудования для наблюдения и исследования необъятной Вселенной и в особенности такой её неотъемлемой части, как звёзд? Можно ли, имея в запасе лишь школьные знания по физике, количественно выяснить внешние и внутренние характеристики звёзд, такие как размер, массу, возраст, продолжительность жизни, состав и механизм генерации энергии? В данной задаче вы попытаетесь построить модель Солнца от простой к сложной в согласии с историческим контекстом. Т.к. мы не можем непосредственно наблюдать внутренности Солнца, модели должны быть проверены с разных точек зрения, в том числе такие характеристики, как возраст, радиус, поверхностная температура, мощность, нейтринный поток и т.д. должны соответствовать действительности.

При решении задачи считайте известными следующие величины: радиус Земли $6370~\text{км}$, гравитационная постоянная $G=6.67\cdot10^{-11}~\frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}$, постоянная Стефана—Больцмана $\sigma=5.67\cdot10^{-8}~\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}$, постоянная Больцмана $k=1.38\cdot10^{-23}~\frac{\text{Дж}}{\text{К}}$, элементарный заряд $e=1.602\cdot10^{19}~\text{Кл}$, масса электрона $m_e=0.51~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса протона $m_p=938.3~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса ядра дейтерия $m_D=1875.6~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса атома $^3He\ $ $m_{^3He}=2808.4~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса атома $^4He\ $ $m_{^4He}=3727.5~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$.

В одном из древнейших китайских математико-астрономических текстов Чжоуби Суаньцзин, написанном более $2000$ лет назад, описывается метод измерения отношения диаметра Солнца $D$ к расстоянию до него $S_{\text{Сол-Зем}}$ (т.н. астрономической единице). Необходимо взять длинный прямой бамбуковый стержень и закрепить его, направив на Солнце. Внутренний диаметр стержня равен $d$. Необходимо подобрать стержень такой длины $L$, чтобы диск Солнца точно умещался в отверстие, если смотреть на него через стержень.

1.1  ^2.00 Найдите, как связан угловой диаметр солнечного диска $\Phi=\frac{D}{S_{\text{Сол-Зем}}}$ с величинами $d$ и $L$.

1.2  ^2.00 Чтобы уменьшить ошибку измерений, нужно сделать $L$ как можно больше. Какими ещё способами можно повысить точность полученного результата?

1.3  ^2.00 Если $d=1~\text{цунь}$, а $L=8~\text{кит. футов}$, то чему равен диаметр солнечного диска $\Phi=\frac{D}{S_{\text{Сол-Зем}}}$? $\left(1~\text{китайский фут} = 10~\text{цуней} = \frac{1}{3}~\text{м}\right)$

С некоторой вероятностью Земля, Венера и Солнце в некоторый момент своего движения могут оказаться почти на одной прямой (так было, например, 6 июня 2012 года). При этом для земного наблюдателя Венера выглядит как маленькая чёрная точка, медленно перемещающаяся по солнечному диску. Такое событие называется транзитом Венеры. В 1716 году английский астроном Эдмунд Галлей предложил пронаблюдать транзит Венеры в разных точках планеты, чтобы измерить угловой размер Солнца расстояние между Солнцем и Землёй. Известно, что Земля и Венера обращаются вокруг Солнца в одном и том же направлении с периодами $T_{\text{Зем}}=365.256~\text{сут.}$ и $T_{\text{Вен}}=224.701~\text{сут.}$ соответственно. Угол между плоскостями их орбит считайте очень малым, вращением Земли пренебрегите.

2.1  ^4.00 Считая орбиты Венеры и Земли круговыми, найдите отношение расстояния от Солнца до Венеры к расстоянию от Солнца до Земли $r_{\text{Вен-Зем}}=\frac{S_{\text{Сол-Вен}}}{S_{\text{Сол-Зем}}}$.

2.2  ^2.00 6 июня 2012 года из никоторой точки Земли были проведены наблюдения транзита Венеры по диску Солнца, как показано на рисунке (a). Найдите отношение длины дуги $D_p$, по которой двигалась Венера в течение транзита, к расстоянию $S_{\text{Сол-Вен}}$ от Венеры до Солнца. Если расстояние в картинной плоскости между центром солнечного диска и прямой, вдоль которой движется Венера для земного наблюдателя, равно $h_p=\frac{5}{16}D$, то каков угловой диаметр Солнца $\Phi$?

2.3  ^6.00 Чтобы измерить расстояние между Солнцем и Землёй, необходимо пронаблюдать транзит Венеры в разных точках Земной поверхности, как то показано на рисунке (b). Предположим, что два наблюдателя $P$ и $P'$ на поверхности земли, разделённые расстоянием $H$ и находящиеся на одной долготе, одновременно фиксируют транзит Венеры. Для наблюдателя $P$ Венера движется вдоль прямой $AB$, и транзит длится $t_p$. Для наблюдателя же $P$ Венера движется вдоль прямой $A'B'$, транзит происходит за время $t_p'$. Выразите расстояние между Солнцем и Землёй $S_{\text{Сол-Зем}}$ через величины $r_{\text{Вен-Зем}}$, $T_{\text{Зем}}$, $T_{\text{Вен}}$, $t_p$, $t_{p'}$ и $H$.

2.4  ^4.00 Широты Пекина и Гонконга равны соответственно $39.5^{\circ}$ и $22.5^{\circ}$. Транзит Венеры 6 июня 2012 года длился $t_p=\text{6:21:57}$ в Пекине и $t_{p'}=\text{6:19:31}$ в Гонконге. Используя эти данные и результаты $\text{п.}~2.3$, вычислите расстояние $S_{\text{Сол-Зем}}$ от Земли до Солнца и диаметр Солнца $D$.

Согласно наблюдательным данным, полученным во время транзита Венеры в 1882 году, среднее расстояние между Солнцем и Землёй равно $S_{\text{Сол-Зем}}=1.5\cdot10^8~\text{км}$, диаметр Солнца равен $D=1.4\cdot10^6~\text{км}$, и количество энергии солнечного излучения, получаемого на Земле в единицу времени на единицу перпендикулярной излучению площади, равно $I=1.37~\frac{\text{кВт}}{\text{м}^2}$.

3.1  ^2.00 Найдите полное количество солнечной энергии $W_{\text{Зем}}$, получаемое Землёй в единицу времени.

3.2  ^2.00 Человечество потребляет энергетический эквивалент $3~\text{т}$ угля в год на душу населения, причём $1~\text{кг}$ угля способен произвести $4~\text{кВт}\cdot\text{ч}$. Найдите отношение $E_\text{чел.}:E_\text{Зем.}$ энергии, потребляемой всеми $7~\text{млрд}$ людей в мире, к количеству солнечной энергии, получаемой Землёй за тот же период времени.

3.3  ^2.00 Найдите полное количество энергии $W_{\text{Сол}}$, излучаемой Солнцем в единицу времени.

3.4  ^2.00 Оцените температуру поверхности Солнца $T_{\text{пов}}$.

4.1  ^4.00 Найдите массу Солнца $M_{\text{Сол}}$ и его среднюю плотность $\rho$.

4.2  ^2.00 Предположим, что источником солнечной энергии являются химические реакции, и теплота, выделяемая в этих реакциях на единицу массы, такая же, как у угля, какое время $t_{\text{хим}}$ может существовать Солнце, излучая то же количество солнечной энергии, что и сейчас? Учитывая, что сейчас Солнцу уже порядка 5 млрд лет, во сколько раз более энергоэффективными должны быть идущие на нём реакции?

Согласно результатам спектрального анализа, основной составляющей Солнца является водород. Основные термоядерные реакции, в которых участвует водород, могут быть записаны как$$p+p\to D+e^++\nu_e$$ $$D+p\to {}^3He+\gamma$$ $${}^3He+{}^3He\to{}^4He+p+p.$$Образующиеся в этих термоядерных реакциях позитроны будут аннигилировать, нейтрино — улетать, а положительно заряженные ядра будут отталкивать друг друга. Если бы они не находились при очень большой температуре, их кинетической энергии не хватало бы для преодоления кулоновского потенциала и начала реакции. При достаточно высокой температуре атомы будут ионизованы, поэтому вещество на Солнце должно представлять собой плазму из электронов и ядер. В этой части задачи пренебрегите энергией, которую уносят с собой нейтрино, а также наличием непрореагировавшего водорода, улетающего с солнечным ветром.

5.1  ^6.00 Какое число $\frac{\Delta N_p}{\Delta t}$ ядер водорода – протонов – должно потребляться в реакциях на Солнце в единицу времени, чтобы поддерживать наблюдаемую мощность солнечного излучения?

5.2  ^4.00 В настоящий момент Солнце на $71\%$ по массе состоит из водорода. Какое число лет оно ещё может таким образом поддерживать своё существование? Вычислите вероятность $P_{pp}$ протон-протонной реакции в единицу времени (т.е. отношение числа частиц, вступающих в реакцию в единицу времени, к полному числу частиц).

5.3  ^2.00 Нейтрино практически не поглощаются в процессе своего движения из недр Солнца на расстояния, сравнимые с размерами земной орбиты. Какое количество нейтрино $\frac{\Delta N_{\nu_e}}{\Delta S \Delta t}$ достигает земной поверхности в единицу времени на единицу перпендикулярной направлению их распространения площади?

(На самом деле, количество электронных нейтрино, достигающих Земли, составляет лишь $35\%$ от вычисленного вами значения, однако совпадёт с ним при учёте двух других типов нейтрино. Это происходит потому, что некоторые нейтрино меняют свой тип в процессе движения, что называется осцилляциями нейтрино. За открытие и объяснение этого эффекта были даны Нобелевские премии по физике за 2002 и 2015 годы.)

5.4  ^2.00 Какую массу $\frac{\Delta M_{\text{Сол}}}{\Delta t}$ в единицу времени теряет Солнце в результате излучения?

6  ^6.00 Вероятность $P$ термоядерной реакции зависит от температуры плазмы $T$, а также прямо пропорциональна её концентрации $n$ (количества частиц в единице объёма). Таким образом, вероятность может быть записана в виде $P=nR(T)$, где $R(T)$ — т.н. скорость реакции. На рисунке (c) показана зависимость скорости реакции от температуры для трёх различных ядерных реакций. Оцените минимальную температуру $T$ солнечного ядра (его радиус возьмите равным $\frac{1}{4}$ солнечного), при которой могут проходить необходимые ядерные реакции.

7  ^8.00 Найдите максимальную энергию $E_{\nu\ max}$, которую может уносить с собой в результате реакции нейтрино, и максимальную вызванную этим эффектом относительную ошибку результатов, полученных в п. 5.1—5.4 задачи.

Как видно из полученных результатов, Солнце медленно теряет свою массу, потому период и средний радиус орбиты Земли также медленно меняются.

8.1  ^2.00 Найдите, какую массу $\Delta M$ потеряет Солнце вследствие излучения за 100 млн лет.

8.2  ^6.00 Найдите вызванное этим изменение $T_2-T_1$ периода обращения Земли.