Самый выдающийся факт в космологии состоит в том, что Вселенная расширяется. Пространство непрерывно создается. Расширение пространства означает, что при расширении Вселенной расстояние между объектами увеличивается. Удобно пользоваться т.н. «расширяющейся» системой координат $\vec{r}=(x, y, z)$ в которой расстояние
$$\Delta r= | {\vec r_2} - \vec r_1|= \sqrt{{(x_2-x_1})^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}$$ между объектами $1$ и $2$ не изменяется. (Мы полагаем, что объекты не участвуют в других движениях, помимо движения, связанного с расширением Вселенной). Сказанное проиллюстрировано на рисунках внизу (изображения, разумеется, двухмерные, хотя Вселенная имеет три измерения).

Современная космологическая теория базируется на общей теории относительности Эйнштейна. Однако, при соответствующих допущениях, также возможно упрощенное рассмотрение на основе Ньютоновской теории гравитации. В последующих заданиях мы будем работать в рамках Ньютоновской теории.

Для измерения физического (реального) расстояния введем «масштабный коэффициент» $a(t)$ так, чтобы физическое расстояние $\Delta r_{р}$ между точками $\vec r_1$ и $\vec r_2$ составляло: $$\Delta r_{\mathrm{p}}=a(t) \Delta r$$Расширение Вселенной подразумевает, что $a(t)$ есть возрастающая функция времени.

На больших масштабах — гораздо больших, чем галактики и их скопления — наша Вселенная является примерно однородной и изотропной. Поэтому рассмотрим «игрушечную» модель Вселенной, в которой Вселенная заполнена однородно распределенными частицами. Частиц так много, что мы можем считать их сплошной средой. Также предположим, что число частиц не изменяется.

В настоящее время во Вселенной преобладает нерелятивистское вещество, кинетическая энергия которого пренебрежимо мала по сравнению с энергией его массы. Обозначим за $\rho_{\mathrm{m}}(t)$ физическую плотность энергии (т.е. энергию в единице физического объема) в момент времени $t$, в которой преобладает энергия массы нерелятивистского вещества, а гравитационная потенциальная энергия, как часть «плотности физической энергии» не учитывается. Обозначим за $t_0$ текущее время.

a  ^2.00 Получите выражение для $\rho_{\mathrm{m}}(t)$ в момент времени $t$, выразив ее через $a(t), a(t_0)$ и $\rho_{\mathrm{m}}(t_0)$.

Помимо нерелятивистского вещества, во Вселенной также присутствует небольшое количество излучения, которое состоит из частиц с нулевыми массами, например, фотонов. Физическая длина волны частиц с нулевыми массами растет по мере расширения Вселенной как $\lambda_p \propto a(t)$. Пусть физическая плотность энергии излучения будет $\rho_r (t)$.

b  ^2.00 Получите выражение для плотности физической энергии излучения $\rho_r (t)$ в момент времени $t$, выразив ее через $a(t), a\left(t_0\right)$ и $\rho_{\mathrm{r}}\left(t_0\right)$.

Рассмотрим газ, состоящий из невзаимодействующих фотонов, находящийся в состоянии термодинамического равновесия. В этом случае температура фотонов зависит от времени как $T(t)\propto [a(t)]^\gamma$.

c  ^2.00 Вычислите численное значение $\gamma$.

Рассмотрим термодинамику невзаимодействующих частиц одного типа $X$. Считайте расширение пространства достаточно медленным и термически изолированным, так, что энтропия $X$ не изменяется со временем. Пусть физическая плотность энергии частиц $X$ будет $\rho_X(t)$. Она включает энергию массы и внутреннюю энергию. Пусть физическое давление будет $p_X(t)$.

d  ^4.00 Получите выражение для $d\rho_X(t)/dt$, выразив его через $a(t)$, $da(t)/dt$, $\rho_X(t)$, $p_X(t)$.

Рассмотрим звезду $S$. В настоящее время $t_0$ звезда находится от нас на физическом расстоянии $r_р = a(t_0)r$, где $r$ — координата в расширяющейся системе координат. Мы не учитываем дополнительного движения, т.е. считаем, что как звезда, так и наблюдатель следуют расширению Вселенной без дополнительного движения.

Звезда испускает энергию в виде света с мощностью $P_e$, которая изотропна по всем направлениям. Для наблюдения звезды используем телескоп. Для простоты предположим, что телескоп воспринимает свет всех частот с к.п.д. $100\%$. Площадь линзы телескопа равна $A$.

e  ^4.00 Получите выражение для мощности $P_r$, получаемой телескопом от звезды $S$ как функцию $r,A,P_e$ масштабного коэффициента $a(t_e)$ в момент испускания света звездой $t_e$, и масштабный коэффициент в настоящее время $t$ (т.е. во время наблюдения) $a(t_0)$.

В отсутствие гравитации скорость расширения вселенной должна быть постоянной. В рамках Ньютоновской теории это следует понимать так, что в отсутствие силы частицы вещества удаляются друг от друга с постоянной скоростью, и поэтому $\frac{da(t)}{dt}$ является постоянной, зависящей от начальных условий.

Теперь рассмотрим, как Ньютоновская гравитация влияет на масштабный коэффициент $a(t)$ во Вселенной, заполненной нерелятивистским однородным и изотропным веществом.

Как показано на рисунке выше, предположим, что $\mathrm C$ является центром нашей Вселенной (данное предположение может быть снято в общей теории относительности Эйнштейна, которая находится за пределами нашего рассмотрения). Разобьем вещество на тонкие оболочки вокруг $\mathrm C$. Рассмотрим одну из таких оболочек (сфера на рисунке выше). Расстояние от этой оболочки до центра в «расширяющейся» системе координат равно $r$ (помните, что это расстояние не зависит от времени).

f  ^5.00 Используйте движение оболочки для нахождения соотношения между $da(t)/dt$, $a(t)$ и плотностью энергии массы $\rho(t)$. (Если Вы получите в окончательном выражении постоянную, зависящую от начальных условий, можете не вычислять ее).

g  ^1.00 На основе модели, описанной в разделе (F), сделайте вывод, ускоряется (a) или замедляется (b) расширение Вселенной? Выберите (a) или (b).

К сведению, в $1998$ году открыт новый вид энергии в нашей Вселенной. Это открытие существенно изменяет вывод, полученный в разделе (G).