Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) был обнаружен Д.К. Цуи и Г. Стормером в 1981 году. В эксперименте электроны могли двигаться только вдоль поверхности пластинки, изготовленной из GaAs/AlGaAs (т.е. толщиной электронного слоя можно пренебречь). Перпендикулярно к электронной системе было приложено сильное однородное магнитное поле. Прохождение тока $I$ по поверхности пластинки приводит к появлению Холловской разности потенциалов $V_Н$, а при достаточно низких температурах на кривой зависимости Холловского сопротивления от величины магнитного поля появляется плато, которое соответствует Холловскому сопротивлению $R_Н = 3h/e^2$. Появление этого плато свидетельствует о наличии квазичастиц с дробным зарядом, которые будут рассмотрены ниже.

В классической модели электроны на поверхности пластинки GaAs/AlGaAs ведут себя как заряженные шарики с некоторой эффективной массой $m^*$.

a.1  ^2.00 Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\vec E=-E_y\widehat y$ и магнитном $\vec B=B \widehat z$ полях, где $\widehat x$, $\widehat y$ и $\widehat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\mathrm X$, $\mathrm Y$ и $\mathrm Z$.

a.2  ^1.00 Найдите установившуюся скорость электронов $\upsilon_s$.

a.3  ^1.00 Укажите направление этой скорости?

b  ^2.00 По определению Холловское сопротивление $R_Н=V_Н/I$. Представьте $R_Н$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\phi$ через пластинку, который равен $\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно.

с  ^2.00 Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_Н=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\phi$.

d  ^2.00 Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\Delta U(B) \varpropto B^\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\alpha$.

e  ^2.00 Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\nu=1/n$. На какую величину $\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица.

В рассматриваемом эксперименте величина индукции внешнего магнитного поля для плато $R_Н=3h/e^2$ была равной $B_{1/3}=15~Тл$.
Эффективная масса электрона в пластинке GaAs, $m^*=0.067m_e$,
Масса электрона, $m_e = 9.1 \times 10^{−31}~ кг$,
Постоянная в законе Кулона, $k = 9.0 \times 10^9~Н \cdot м^2/Кл^2$,
Диэлектрическая постоянная, $\varepsilon_0 = 1/4\pi k = 8.854 \times 10^{-12}~Ф/м$,
Элементарный заряд, $e = 1.6 \times 10^{−19}~ Кл$,
Постоянная Планка, $ℎ = 6.626 \times 10^{−34}~Дж \cdot с$,
Постоянная Больцмана, $k_В= 1.38 \times 10^{−23}~ Дж/К$.

f.1  ^1.00 Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$.

f.2  ^2.00 Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности.

Как видно из рисунка существует несколько плато с $R_Н=h/ie^2$, где $i=1,2,3...$ — целое число. Это явление получило название целочисленного эффекта Холла. В отличие от него дробный эффект Холла связывают с существованием квазичастиц с дробным зарядом, что было подтверждено в 1997 году, когда была проведена серия экспериментов при коэффициенте заполнения $\nu = 1/3$, в которых определялся так называемый уровень шума при измерениях электрического тока через очень малый контакт (квантовая точка). В простейшей статистической модели число носителей $n_{\tau}$ с зарядом $e^*$ , проходящих через такой контакт в течение малого интервала времени $\tau$, подчиняется распределению вероятности Пуассона с параметром $\lambda$:
$$Р(n_\tau=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
где $k!$ — факториал числа $k$. Вам может понадобиться следующая формула:
$$e^{\lambda}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}$$

g.1  ^2.00 Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\lambda$ и $\tau$.

g.2  ^2.00 Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\lambda$ и $\tau$.

g.3  ^1.00 Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_В$.