Гравитационным линзированием называется явление, в котором вследствие кривизны пространства-времени свет, распространяющийся от удаленного источника, может отклоняться массивным линзирующим объектом, расположенным на прямой между удаленным объектом и наблюдателем или близко к этой прямой. Это явление впервые наблюдалось во время солнечного затмения в 1919 году, когда было обнаружено, что наблюдаемое положение звезд, находящихся за Солнцем, отличается от их астрономических положений. Ранее это было предсказано Эйнштейном.

В случае, когда наблюдатель, линзирующий объект массы $M$, и источник находятся на одной прямой, свет источника отклоняется на угол $\alpha$ (в радианах) согласно формуле
$$\alpha= \frac{4GM}{r_E c^2}$$где $G$ – гравитационная постоянная $(6.67 \times 10^{-11}Nm^2kg^{-2})$, $c$ — скорость света $(3.00\times10^{-8}ms^{-1})$, $r_E$ — эйнштейновский радиус — наименьшее расстояние между линзирующим объектом и траекторией луча света.

a Схематично изобразите идеальную линзирующую систему (наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой). Покажите ход луча и укажите на схеме $\alpha$ и $r_E$. Также укажите угловой эйнштейновский радиус $\theta_E$ (угловое отклонение изображения источника при его наблюдении с Земли), а также другие величины, которые может измерить наблюдатель, находящийся на Земле.

b Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой.

c Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся не на одной прямой. На эскизе изобразите источник и линзирующую систему, чтобы пояснить, почему это так.
Гравитационное линзирование было предложено в качестве метода обнаружения массивных компактных объектов в нашей галактике, которые могут быть кандидатами на темную материю. Обычно этими объектами являются остатки потухших звезд, такие как нейтронные звезды и черные дыры. Так как звезды и данные объекты движутся по орбитам в пределах галактики, существует вероятность того, что линзирующий объект может образоваться если нейтронная звезда или черная дыра находится на линии наблюдения перед далеко расположенной звездой.

d Радиусом Шварцшильда черной дыры определяет точку невозврата. Выражение для радиуса Шварцшильда может быть получено если его считать радиусом для которого вторая космическая скорость равна скорости света. Это означает, что ничто, находящееся внутри радиуса Шварцшильда не может покинуть черную дыру.
Используя механику Ньютона, выведите формулу для второй космической скорости (скорости ухода от точечной массы $M$ с расстояния $r$). Из этого выведите выражение для радиуса Шварцшильда для точечного объекта массой $M$. Выразите его через гравитационную постоянную $G$ и скорость света $c$. Четко укажите последовательность ваших действий (при этом получается точное выражение для радиуса Шварцшильда, как это следует из общей теории относительности).

e В случае, когда источник, «линза» и наблюдатель находятся на одной прямой, и измерены значения $\alpha$ и $r_E$, получите выражение для радиуса Шварцшильда линзирующего объекта.

f Рассмотрим случай, когда масса линзирующего объекта равна нескольким массам Солнца ($M\sim 10^{30}~кг$) и объект находится в пределах нашей галактики (расстояние до него $D_L \sim 10^{18}~м$), а источник находится немного подальше ($D_S \sim$ несколько $D_L$). Какое из приведенных ниже утверждений верно? Выберите условия, которые подходят для случая, описанного выше:

g Используя условия, полученные в пункте (f), перепишите полученное вами выражение из пункта (e), выразив его через измеряемые величины ($\theta_E, D_S, D_L$) для линзирующего объекта массой $M \sim 10^{30}~кг$; расстояние до объекта $D_L \sim 10^{18}~м$; расстояние до источника $D_S$ ($D_S \sim$ несколько $D_L$). Приведите последовательность ваших выкладок.

h Предположим, что линзирующий объект массой $6.0\times 10^{30}~кг$ (3.0 массы Солнца), находящийся на расстоянии $2.6\times 10^{18}~м$ от Земли, проходит перед звездой, находящейся на расстоянии $9.2 \times 10^{18}~м$ от Земли. Чему равен радиус $\theta_E$ (с точки зрения земного наблюдателя), когда источник, линзирующий объект и наблюдатель находятся на одной прямой.