Все вещества во Вселенной обладают, помимо массы и заряда, такой фундаментальной характеристикой, как спин. Спин — это внутренний момент количества движения, которым обладают частицы. Хотя для полного описания спина необходимо привлечение аппарата квантовой механики, физику спина можно понять, используя обычный классический формализм. В данной задаче изучается влияние магнитного поля на спин с использованием его классической аналогии.
Классическое уравнение моментов для спина выглядит так: $$\vec M=\frac{d\vec L}{dt}=\vec\mu \times \vec B$$ В этом уравнении момент импульса $\vec L$ представляет собой спин частицы, $\vec \mu$ — магнитный момент частицы, $\vec B$ — индукция магнитного поля. Спин частицы связан с ее магнитным моментом уравнением $$\vec \mu=-\gamma\vec L$$ где $\gamma$ — гиромагнитное отношение.

Часть А. Ларморовская прецессия

a.1 Докажите, что величина магнитного момента $\mu$ под действием магнитного поля $\vec B$ всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между $\vec \mu$ и $\vec B$ постоянен.
(Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений).

S

a.2 Индукция магнитного поля $\vec B$ образует угол $\phi$ с магнитным моментом частицы $\vec \mu$. Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент $\vec \mu$ вращается вокруг поля $\vec B$, что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту $\omega_0$ ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора $\vec B=B_0\vec k$, где $\vec k$ — единичный вектор.

A S

Часть B. Вращающаяся система координат

В данной части задачи выберем систему координат $S'=(x',y',z')$, которая вращается с угловой скоростью $\omega \vec k$, как это видно наблюдателю, находящемуся в лабораторной системе координат $S=(x,y,z)$, где оси $x',y',z'$ совпадают с осями $x, y, z$ в момент времени $t = 0$. Любой вектор $\vec A=A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k$ в лабораторной системе координат может быть представлен во вращающейся системе координат $S'$ как $\vec A=A'_x\vec i'+A'_y\vec j'+A'_z\vec k'$. Производная этого вектора по времени
$$\frac{d\vec A}{dt}= \left(\frac{dA'_x}{dt}\vec i'+\frac{dA'_y}{dt}\vec j'+\frac{dA'_z}{dt}\vec k'\right)+\left(A_x'\frac{d\vec i'}{dt}+A_y'\frac{d\vec j'}{dt}+A_z'\frac{d\vec k'}{dt}\right)$$$$\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{lab}=\left(\frac{d\vec
A}{dt}\right)_{rot}+\left(\omega\vec k \times \vec A\right) $$где $\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{lab}$ — производная по времени вектора $\vec A$ в лабораторной системе координат и $\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{rot}$ — производная этого вектора по времени во вращающейся системе координат.
Для всех вопросов из данной части, ответы относятся к вращающейся системе координат $S'$.

b.1 Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением $$\left(\frac{d\vec \mu} {dt}\right)_{rot}=\left(\gamma\vec\mu\times\vec B_{eff}\right)$$ где $\vec B_{eff}= \vec B - \frac\omega \gamma \vec k'$ — эффективная индукция магнитного поля.

S

b.2 Чему равна новая частота прецессии $\Delta$, выраженная через $\omega_0$ и $\omega$, для $\vec B=B_0\vec k$?

A S

b.3 Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)$, так что $\vec B=B_0\vec k + \vec b(t)$. Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна
$$\Omega= \gamma\sqrt{\left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right)^2}+b^2$$

S

b.4 Вместо того, чтобы прикладывать поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)$ теперь приложим поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)$ которое вращается в противоположном направлении. В этом случае
$$\vec B=B_0\vec k+b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)$$ Чему теперь равно эффективное магнитное поле $\vec B_{eff}$ (выраженное через единичные вектора $\vec i', \vec j', \vec k')$? Чему равно среднее по времени поле $\overline{\vec B_{eff}}$, (вспомните, что $\overline{\cos2\pi t/T}=\overline{\sin2\pi t/T}=0$?

A S

Часть C. Осцилляции Раби

Для ансамбля из $N$ частиц, находящегося под действием сильного магнитного поля, спин может иметь два квантовых состояния: «вверх» и «вниз». Следовательно, полная заселенность состояний «спин вверх» $N_{\uparrow}$ и «спин вниз» $N_{\downarrow}$ описывается уравнением $$ N_{\uparrow} +N_{\downarrow} = N $$Разность заселенностей состояний «спин вверх» и «спин вниз» приводит к макроскопическому намагничиванию вдоль оси: $$M=(N_{\uparrow} -N_{\downarrow})\mu=N\mu_z$$В реальном эксперименте обычно используются два магнитных поля: сильное смещающее магнитное поле $B_0\vec k$ и поле, колеблющееся с амплитудой $2b$ и перпендикулярное смещающему полю ($b\ll B_0$). Изначально прилагается только сильное смещающее поле, вынуждающее все частицы перейти в состояние «спин вверх» (при $t = 0$ вектор $\mu$ ориентирован в направлении $z$). Затем включается поле, колеблющееся с частотой ларморовской прецессии $\omega_0$, т.е. $\omega=\omega_0$. Другими словами, после момента времени $t = 0$ суммарное поле описывается уравнением $$\vec B(t)= B_0\vec k + 2b\vec i \cos \omega t$$

c.1 Покажите, что во вращающейся системе координат $S'$ эффективное поле может быть аппроксимировано как $$\vec B_{eff} \approx b\vec i' $$ что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии $\Omega$ в системе координат $S'$?

A S

c.2 Определите угол $\alpha$, который вектор $\vec \mu$ образует с полем $\vec B_{eff}$. Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как $$M(t)= N\mu(\cos \Omega t)$$

A S

c.3 При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» $P _{\uparrow}=N_{\uparrow}/N$ и «спин вниз» $P _{\downarrow}=N_{\downarrow}/N$ как функции времени. Нанесите на один график $P _{\uparrow}$ и $P _{\downarrow}$ в зависимости от времени $t$. Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби.

A S

Часть D. Несовместимость измерений

Спин является векторной величиной. Из-за его квантовых свойств мы не можем измерить все его компоненты одновременно (т.е. мы можем знать $|\vec \mu|$ и $\mu_z$, как в случаях, приведенных выше; но не можем знать одновременно $|\vec \mu|$, $\mu_x$, $\mu_y$ и $\mu_z$). В данной задаче мы произведем вычисления на основе принципа неопределенности Гейзенберга (используя соотношение $\Delta p_q \Delta q\ge \hbar$) для того, чтобы показать, как эти измерения несовместимы друг с другом.

d.1 Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «$-y$» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле $\vec B_1$. Поле $\vec B_1$ имеет сильную компоненту в направлении оси $z$. В нем атомы с различными магнитными моментами $\mu_z=\pm\gamma\hbar$ расщепляются вдоль направления $z$. На расстоянии $D$ от тигля расположен экран $SC_1$, который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля $\vec B_2$, где на них действует сила $$F_x=\mu_x C$$Поле $\vec B_2$ имеет сильную компоненту в направлении оси $x$, вдоль которой атомы имеют магнитные моменты $\mu_x=\pm\gamma \hbar$.
Покажите, что для того, чтобы определить $\mu_x$, наблюдая расщепление в направлении оси $x$, должно выполняться следующее условие: $$\frac{1}{\hbar}|\mu_x|\Delta x C t\gg 1$$ где $t$ — время после прохождения экрана $SC_1$ и $\Delta x$ — расхождение пучков на экране $SC_1$ .

S

d.2 Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где $\mu_z=\gamma\hbar =|\mu_x|$. Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений $\Delta \omega $ по отношению к компоненте $x$ поля $\vec B_2$, конкретно $B_{2x}= B_0+Cx$. Докажите, что разброс угла прецессии $\Delta \omega t$ велик и мы не можем измерять одновременно $\mu_x$ и $\mu_z$. Другими словами, измерение $\mu_x$ разрушает информацию о $\mu_z$.

S