Существование античастиц впервые было предсказано теорией Дирака. В 1932 Андерсон открыл позитроны — античастицы электронов – изучая космические лучи. С тех пор были открыты и другие античастицы, например, антипротоны. Последние можно получить, бомбардируя мишень из неподвижных протонов высокоэнергетическим протонным пучком с энергией частиц $6.8~\text{ГэВ}$. Происходящая при этом реакция записывается как$$p+p \to p+p+p+\bar{p} \to \pi^-+\ldots.$$В результате аннигиляции протонов и антипротонов образуются $\pi^-$-мезоны, поэтому в антипротонном луче всегда можно найти большое их количество. На рисунке (a) схематично показано устройство детектора антипротонов. Антипротоны и $\pi^-$-мезоны пролетают по порядку через сцинтилляционные счётчики $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Расстояние между счётчиками $S_1$ и $S_2$ равно $l=12~\text{м}$. Счётчики черенковского излучения $C_1$ и $C_2$ помещены между $S_2$ и $S_3$ и используются для определения скорости движения частиц посредством регистрации их черенковского излучения (электромагнитного излучения, возникающего, когда скорость движения заряженной частицы превышает скорость света в среде). $C_1$ регистрирует только более быстрые $\pi^-$-мезоны, $C_2$ — только более медленные антипротоны. Счётчик $S_3$ используется в эксперименте для подтверждения правильности результатов $S_1$ и $S_2$.
Считайте известными следующие величины: скорость света в вакууме $c=2.998\cdot10^8~\frac{\text{м}}{\text{с}}$, масса протона $M_p=938.2720~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса $\pi^0$-мезона $m_{\pi^{0}}=134.9766~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса $\pi^{\pm}$-мезона $m_{\pi^{\pm}}=139.5702~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$.

1  ^14.00 Если протоны и антипротон, образовавшиеся в результате описанной выше реакции, имеют практически одинаковую скорость, найдите время $t_{\bar{p}}$, которое необходимо антипротону для того, чтобы долететь от $S_1$ до $S_2$. Какое время $t_{\pi^-}$ нужно $\pi^-$-мезону, имеющему такую же кинетическую энергию, что и описанный выше антипротон, чтобы долететь от $S_1$ до $S_2$?

2  ^2.00 Частица распространяется в среде с коэффициентов преломления $n$ со скоростью $v\ (v>\frac{c}{n})$. Найдите, чему равен угол $\theta$ между направлением движения частицы и направлением распространения черенковского излучения.

3  ^4.00 Дифференциальный счётчик черенковского излучения может фиксировать количество частиц, чьи скорости лежат в определённых диапазонах. Рисунок (b) представляет собой схематичный вид счётчика в разрезе (он осесимметричен относительно оси, показанной штриховой линией). Направляющая свет система состоит из сферического зеркала радиуса $R$ и кольцевой диафрагмы с регулируемым радиусом. Когда угол между скоростью частицы и направлением распространения черенковского излучения мал, зеркало фокусирует его, образуя в фокальной плоскости имеющий радиус $r$ кольцевой ореол излучения, попадающего в дальнейшем в счётчик. Найдите радиус $r$ ореола, если создавшая его частица двигалась со скоростью $v$.

4  ^20.00 Когда протон сталкивается с антипротоном, происходит аннигиляция, уравнение которой записывается как$$p+\bar{p} \to3\pi^0.$$Разность суммарных кинетических энергий продуктов реакции и изначальных частиц равна $Q$. Для простоты считайте кинетическую энергию протонов и антипротонов пренебрежимо малой, а тогда суммарная кинетическая энергия трёх $\pi^0$-мезонов — постоянная величина. Распределение кинетической энергии между этими тремя $\pi^0$-мезонами может быть представлено в виде т.н. диаграммы Далица. Как показано на рисунке (c), диаграмма Далица представляет собой равносторонний треугольник единичной высоты. Расстояния от точки $P$ до каждой из трёх сторон равно отношению кинетической энергии соответственно каждого из трёх $\pi^0$-мезонов, т.е. $d_i=\frac{E_i}{Q}$, где индекс $i$ принимает значения $i=1,2,3$, каждое из которых соответствует одному из $\pi^0$-мезонов. Используйте систему координат, показанную на рисунке (c) (середина нижней стороны — начало координат, ось $Oy$ перпендикулярна ей).

Найдите выражение, задающее границу области возможных положений точки $P$ на диаграмме, если известны энергия реакции $Q$, масса $\pi^0$-мезона $m_{\pi^0}$ и скорость света в вакууме $c$. Найдите аналогичное выражение отдельно для случая $m_{\pi^0}=0$.