Существование античастиц впервые было предсказано теорией Дирака. В 1932 Андерсон открыл позитроны — античастицы электронов – изучая космические лучи. С тех пор были открыты и другие античастицы, например, антипротоны. Последние можно получить, бомбардируя мишень из неподвижных протонов высокоэнергетическим протонным пучком с энергией частиц $6.8~\text{ГэВ}$. Происходящая при этом реакция записывается как$$p+p \to p+p+p+\bar{p} \to \pi^-+\ldots.$$В результате аннигиляции протонов и антипротонов образуются $\pi^-$-мезоны, поэтому в антипротонном луче всегда можно найти большое их количество. На рисунке (a) схематично показано устройство детектора антипротонов. Антипротоны и $\pi^-$-мезоны пролетают по порядку через сцинтилляционные счётчики $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Расстояние между счётчиками $S_1$ и $S_2$ равно $l=12~\text{м}$. Счётчики черенковского излучения $C_1$ и $C_2$ помещены между $S_2$ и $S_3$ и используются для определения скорости движения частиц посредством регистрации их черенковского излучения (электромагнитного излучения, возникающего, когда скорость движения заряженной частицы превышает скорость света в среде). $C_1$ регистрирует только более быстрые $\pi^-$-мезоны, $C_2$ — только более медленные антипротоны. Счётчик $S_3$ используется в эксперименте для подтверждения правильности результатов $S_1$ и $S_2$.
Считайте известными следующие величины: скорость света в вакууме $c=2.998\cdot10^8~\frac{\text{м}}{\text{с}}$, масса протона $M_p=938.2720~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса $\pi^0$-мезона $m_{\pi^{0}}=134.9766~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$, масса $\pi^{\pm}$-мезона $m_{\pi^{\pm}}=139.5702~\frac{\text{МэВ}}{c^2}$.
Найдите выражение, задающее границу области возможных положений точки $P$ на диаграмме, если известны энергия реакции $Q$, масса $\pi^0$-мезона $m_{\pi^0}$ и скорость света в вакууме $c$. Найдите аналогичное выражение отдельно для случая $m_{\pi^0}=0$.