Рассмотрим установку, схема которой показана на рисунке. Два когерентных монохроматических световых луча (обозначены 1 и 2), распространяющихся в направлении $z$, падают на две узкие щели, расположенные друг от друга на расстоянии $d(S_1S_2=d)$. После прохождения щели они интерферируют, и картина интерференции наблюдается на экране $S$. Расстояние между щелями и экраном $D$, причем $D\gg d$. При решении этой задачи не учитывайте дифракционные эффекты на отдельных щелях.

1 Пусть при $z=0$ лучи 1 и 2 линейно поляризованы. Соответствующие векторы напряженности электрического поля равны: $$\vec E_1=\hat iE_0\cos(\omega t)$$ $$\vec E_2=\hat iE_0\cos(\omega t)$$ где $\hat i$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $x,\omega$ — угловая частота световой волны и $E_0$ — амплитуда световой волны. Получите выражение для интенсивности света $I(\theta)$, которая будет наблюдаться на экране, где $\theta$ — угол, показанный на рис. Выразите ответ через $\theta, d,E_0, c$ и $\omega$, где $c$ — скорость света. Интенсивность пропорциональна усредненному квадрату напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности считайте равным единице. Уменьшением напряженности электрического поля вследствие удаления от щели до любой точки на экране можно пренебречь.

2 Полностью прозрачная стеклянная пластина толщиной $h$ и показателем преломления $\mu$ помещается на пути луча 1, перед щелями. Найдите выражение для интенсивности света $I(\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\theta, d,E_0, c, \omega,\mu, h$.

3 Оптическое устройство, известное как пластинка в Четверть Длины Волны (ЧДВ), помещается на пути луча 1 перед щелями, вместо стеклянной пластинки. Это устройство изменяет поляризацию луча из линейной поляризации $\vec E_1=\hat iE_0\cos(\omega t)$ на круговую поляризацию: $$\vec E_1=\frac{1}{\sqrt2}[\hat iE_0\cos(\omega t)+\hat jE_0\sin(\omega t)]$$ где $\hat j$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $y$.
Считайте, что пластинка ЧДВ не вносит дополнительной разности хода и что она абсолютно прозрачна. Конец вектора напряженности электрического поля описывает окружность с течением времени. Поэтому говорят, что луч имеет круговую поляризацию.

3.a Найдите выражение для интенсивности света $I(\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\theta, d,E_0, c$ и $\omega$.

3.b Чему равна максимальная интенсивность $(I_{max})$?

3.c Чему равна минимальная интенсивность$(I_{min})$?

4 Теперь рассмотрим экспериментальную установку, показанную на рисунке выше, в которой на пути луча 1 помещены:
— пластинка (ЧТВ) описанная выше,
— линейный поляризатор (обозначен как $\mathrm I$), между $z=a$ и $z=b$, который пропускает только компоненту напряженности электрического поля, параллельную вектору $(\hat i')$. Единичный вектор $\hat i'$ определяется как $$\hat i'=\hat i \cos \gamma+\hat j\sin\gamma$$
— еще один линейный поляризатор (обозначен как $\mathrm {II}$) между $z=b$ и $z=c$, который возвращает поляризацию луча в прежнее состояние (вдоль $\hat i$).
Считайте, что поляризаторы не вносят разности хода, и что они полностью прозрачны.

4.a Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после первого поляризатора в точке $b$ $[\vec E_1(z=b)]$.

4.b Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после второго поляризатора в точке $c$ $[\vec E_1(z=c)]$.

4.c Чему равна разность фаз ($\alpha$) между двумя лучами на щелях?

Наиболее общим видом поляризации является эллиптическая поляризация. Обычно эллиптическую поляризацию описывают в виде суперпозиции двух ортогональных линейных поляризаций, то есть $$\vec E=\hat i 'E_0\cos e \cos (\omega t)+\hat j 'E_0\sin e \sin (\omega t)$$ где $\hat i',\hat j'$ и данная поляризация показаны на риcунке ниже.

Конец вектора напряженности электрического поля с течением времени описывает эллипс. Величина $e$ называется эллиптичностью и определяется как: $$\tan e=\frac{\text{Меньшая полуось эллипса}}{\text{Большая полуось эллипса}}$$ Линейная поляризация и круговая поляризация являются частными случаями эллиптической поляризации. Два параметра: $\gamma(\in[0,\pi])$ и $e\left(\in \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\right)$ полностью определяют состояние поляризации.

Состояние поляризации также может быть представлено точкой на сфере единичного радиуса, которая называется сферой Пуанкаре. Поляризация представлена точкой $P$ на сфере Пуанкаре (см. рис. ниже), широта $\angle PCD=2e$ и долгота $\angle ACD=2\gamma$. Здесь $C$ — центр сферы.

5 Рассмотрим точку на экваторе сферы Пуанкаре.

5.a Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\vec E_{\mathrm {Eq}}$) в этой точке.

5.b Какова поляризация в этой точке?

6 Рассмотри точку на северном полюсе сферы Пуанкаре.

6.a Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\vec E_{\mathrm{NP}}$) в этой точке.

6.b Какова поляризация в этой точке?

7 Теперь рассмотрим три состояния поляризации луча 1. Пусть начальная поляризация (при $z=0$) представлена точкой $A_1$ на сфере Пуанкаре; после пластинки ЧДВ, состояние (при $z=a$) представлено точкой $A_2$. После первого поляризатора (при $z=b$), состояние поляризации представлено точкой $A_3$. При $z=c$ поляризация возвращается в начальное состояние, которая представлена точкой $A_1$. Укажите эти точки ($A_1, A_2, A_3$) на сфере Пуанкаре.

8 Если эти три точки ($A_1, A_2, A_3$) соединить на сфере дугами больших кругов, на поверхности сферы получится треугольник. (Большим кругом называется круг, центр которого совпадает с центром сферы). Разность фаз $\alpha$ и площадь $S$ треугольника на сфере связаны друг с другом. Выразите $S$ через $\alpha$. Эта зависимость была получена Панчаратнамом и разность фаз называется фазой Панчаратнама.