Logo
Logo

Как солнечный ветер вызывает северное сияние

Основные сведения о взаимодействии между солнечным ветром и магнитным полем Земли

Как известно, Земля обладает постоянным магнитным полем, структура которого аналогична структуре магнитного поля обычного магнита, как показано на рис. 2. Магнитное поле Земли искажается солнечным ветром, который является высокоскоростным потоком горячей плазмы (плазмой называют квазинейтральный ионизированный газ). Этот поток плазмы вылетает из Солнца, его интенсивность зависит от солнечной активности. Солнечный ветер деформирует магнитное поле Земли, которое защищает Землю от солнечного ветра. Солнечный ветер «обтекает» магнитное поле Земли, как вода обтекает судно, см. рис. 3.

Линии магнитного поля

Sun – Солнце nterplanetary Medium – межпланетное пространство Solar Wind – солнечный ветер Bow Shock – косая ударная волна Magnetosheath – магнитослой Magneto sphere – магнитосфера Plasmasphere – плазменная сфера Polar Cusp – полярный рог Magnetopause – магнитопауза Plasma Sheet – плазменная пелена Neutral Point – нейтральная точка Plasma Mantle – плазменная мантия Magnetotail –магнитный след North Lobe – северный лепесток South Lobe – южный лепесток

Криволинейная поверхность, на которой солнечный ветер отклоняется в первый раз, называется косой ударной волной. Область за косой ударной волной спереди магнитного поля Земли называется магнитослоем. Область, окруженная солнечным ветром, называется магнитосферой. Магнитное поле Земли в значительной степени препятствует попаданию солнечного ветра в магнитосферу. Область контакта между солнечным ветром и магнитным полем Земли называется магнитопаузой. Расположение магнитопаузы в значительной степени определяется интенсивностью солнечного ветра и направлением его магнитного поля. Когда направление магнитного поля солнечного ветра антипараллельно магнитному полю Земли, имеет место магнитное воссоединение на дневной стороне магнитопаузы, как показано рис. 4, что позволяет некоторым заряженным частицам солнечного ветра из области "A" переместиться в магнитный след "P" на ночной стороне, как показано на рис. 5. Мощный солнечный ветер способен сдвинуть дневную магнитопаузу очень близко к Земле, что может привести к тому, что высокоорбитальный спутник (например, геостационарный спутник) будет полностью подвержен воздействию солнечного ветра. Высокоэнергетичные частицы солнечного ветра могут повредить высокотехнологичные электронные компоненты спутника, поэтому важно изучать движение заряженных частиц в магнитных полях. В частности, такое движение объясняет появление северного сияния и может помочь в понимании механизма взаимодействия между солнечным ветром и магнитным полем Земли.

Численные значения физических постоянных и дипольного магнитного поля Земли

Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \cdot 10^8 \, \frac{м}{с}$.
Электрическая постоянная: $\varepsilon_0 = 8.9 \cdot 10^{-12} \, \frac{Кл^2}{Н \cdot м^2}$.
Магнитная постоянная: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \frac{Н}{А^2}$.
Заряд протона: $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл.
Масса электрона: $m = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг.
Масса протона: $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг.
Постоянная Больцмана: $k = 1.38 \cdot 10^{-23} \, \frac{Дж}{К}$.
Ускорение свободного падения: $g = 9.8 \, \frac{м}{с^2}$.
Постоянная Планка: $h = 6.626 \cdot 10^{-34} \, \frac{Дж}{с}$.
Радиус Земли: $R_E = 6.4 \cdot 10^6$ м.

Индукция магнитного диполя поля Земли описывается формулой:
\begin{equation}
\vec{B}_d = \frac{B_0 R^3_E}{r^5} \left[ 3 x z \hat{x} - 3 y z \hat{y} + (x^2 + y^2 - 2 z^2) \hat{z} \tag{1} \right].
\end{equation}Здесь $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $B_0 = 3.1 \cdot 10^{-5}$ Тл, а $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ — единичные вектора, направленные вдоль осей $x$, $y$, $z$, соответственно.

Часть А (1.5 балла)

Прежде, чем мы изучим движение заряженной частицы в дипольном магнитном поле Земли, рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле $\vec{B}$.

A1  0,50 Определите траекторию движения электрона, если начальная скорость электрона $\vec{v}$ перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, как показано на рис. 6. Электрон изначально расположен в точке $(x,y,z)=(0,0,0)$.

A2  0,50 Определите величину электрического тока, обусловленного движением электрона, и вычислите магнитный момент $\vec{\mu} = I \vec{A}$; здесь $|A|$ — площадь круговой орбиты электрона; направление вектора $\vec{A}$ определяется по правилу буравчика (правой руки) в соответствии с направлением электрического тока.

A3  0,50 Если начальная скорость электрона $\vec{v}$ не перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, т.е. угол $\theta$ между $\vec{B}$ и $\vec{v}$ лежит в промежутке $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$, определите шаг спирали траектории электрона (расстояние вдоль оси $z$ между соседними витками).

Часть B (2.0 балла)

Рассмотрим плазму в однородном фоновом магнитном поле, как показано на рис. 6. При этом если плотность плазмы неоднородна по $x$, то будет возникать электрический ток намагничивания. Для простоты предположим, что температура и распределение ионов и электронов одинаковы. Давление плазмы при этом описывается формулой:
\begin{equation*}
p(x) = k T \left[ n_i(x) + n_e(x) \right] = 2 k T n(x) = 2 k T (n_0 + \alpha x),
\end{equation*}Здесь $B$, $T$, $k$, $n_0$ и $\alpha$ являются положительными постоянными, $n_i(x)$ и $n_e(x)$ — концентрации ионов и электронов.

B1  1,00 Объясните схематичным рисунком причину возникновения тока намагничивания.

Будем считать, что как ионы, так и электроны подчиняются распределению Максвелла, и распределение ионов описывается формулой
\begin{equation*}
f_i (x, v_{\bot}, v_{\parallel}) = n_i(x) \left( \frac{m_i}{2 \pi k T} \right)^{3/2} e^{-m_i (v_{\bot}^2 + v_{\parallel}^2) / 2 k T}.
\end{equation*}

B2  1,00 Вычислите постоянную $\beta$ в выражении для намагниченности $M = \beta n(x) \frac{k T}{B}$, здесь намагниченность $M$ есть магнитный момент единицы объема.

Подсказка: $\int_0^{\infty} x \exp (-x) \,\mathrm dx = 1$ и $\int_{-\infty}^{\infty} \exp (-x^2) \,\mathrm dx = \sqrt{\pi}$.

Часть C (0.5 балла)

Теперь вернемся к дипольному магнитному полю Земли.

C1  0,50 Используйте результат из части $\bf B$ для вычисления отношения диамагнитного поля и дипольного магнитного поля Земли в уравнении (1) в положении ($x = 10 R_E$, $y = 0$, $z = 1 \, R_E$). Предполагается, что давление плазмы $p(z) = p_0 e^{-(z/a)^2}$; здесь $p_0 = 3 \cdot 10^{-10}$ Па и $a = 2 R_E$. Магнитное поле в районе этого положения также можно считать однородным. Обратите внимание на различие в координатных системах в частях $\bf B$ и $\bf C$.

Подсказка: Диамагнитное поле определяется формулой $B_{m x} = \mu_0 M$.

Часть D (2 балла)

Из рис. 2, 3 и 5 видно, что величина индукции магнитного поля Земли вдоль линии магнитного поля максимальна на полюсах и минимальна в экваториальной плоскости. Так как магнитное дипольное поле Земли обладает осевой симметрией и медленно изменяется вдоль линии магнитной индукции, оно для простоты может рассматриваться как поле магнитного зеркала, как показано на рис. 7. Величина индукции магнитного поля вдоль линии магнитного поля минимальна ($B_0$) в точке "P2" и максимальна ($B_m$) в точках "P1" и "P3". Электрон с начальной скоростью $\vec{v}$ расположен в точке "P2" и дрейфует по направлению к точке "P3". Угол между начальной скоростью $\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке "P2" составляет $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$. Для поля магнитного зеркала $\vec{B} = B_r \hat{r} + B_z \hat{z}$ (причем $B_r \ll B_z$), можно считать, что $\frac{\mathrm dB}{\mathrm dz} = \frac{\mathrm dB}{\mathrm ds}$; здесь $\frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}$ частная производная от $B$ вдоль линии магнитной индукции. При этом $\langle B_r \rangle = - \frac{1}{2} \frac{dB}{dz} r_c \ll B_z$, здесь $\langle B_r \rangle$ есть усредненная по кругу $B_r$, а $r_c$ — радиус вращения электрона.

Magnetic Mirror Field – поле магнитного зеркала, Electron trajectory – траектория электрона, B-field – поле В

D1  1,50 Получите выражение для усредненной по периоду вращения силы со стороны магнитного поля вдоль линий магнитной индукции, действующую на электрон и покажите, что магнитный момент не изменяется в процессе движения, т.е. $\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm dt} = 0$ , основываясь на сохранении кинетической энергии.

D2  0,50 Основываясь на постоянстве магнитного момента в процессе движения, определите условие для угла $\theta$ между начальной скоростью электрона $\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке "P2" для того, чтобы электрон не смог вылететь из поля магнитного зеркала

Часть E (0.5 балла)

Линии индукции магнитного дипольного поля Земли (синие линии) показаны на рис. 8. Спиральная траектория заряженной частицы (красные линии) находится вблизи плоскости $y = 0$, т.к. градиентом и кривизной линий магнитного поля можно пренебречь.

E1  0,50 Если заряженная частица с массой $m$, зарядом $q$ и скоростью $\vec{v}$ сначала расположена в экваториальном положении ($x = 6 R_E$, $y = 0$, $z = 0$) и угол между скоростью электрона $\vec{v}$ и индукцией магнитного поля равен сначала $\theta$, определите, какое условие должно выполняться для $\theta$, чтобы заряженная частица на широте $60^{\circ}$ смогла приблизиться до $200$ км высоты.

Earth – Земля, Spiral Trajectory of Charged Particle – спиральная траектория заряженной частицы, Magnetic Field Line – линия магнитного поля

Часть F (2.5 балла)

Как показано на рис. 5, если на дневной стороне магнитопаузы происходит магнитное воссоединение, линии индукции воссоединенного магнитного поля дрейфуют по направлению к ночной области потому, что солнечный ветер течет по направлению к следу. Таким образом, некоторые электроны из солнечного ветра в области "A" также двигаются к магнитному следу в области "P". После того, как электроны появляются в области "P", некоторые электроны могут быть ускорены до энергий порядка 1 кэВ. Таким образом, частицы могут достичь термосферы (высота термосферы составляет около 85 км — 800 км). Эти высокоэнергетичные электроны могут сталкиваться с нейтральными атомами и переводить их в возбужденное состояние. Если за время жизни возбуждённого состояния нейтральный атом не испытывает соударения, он из более высокого возбужденного состояния возвращается в нижнее возбужденное состояние или в основное состояние с испусканием фотона соответствующей длины волны. Таким образом, цвет северного сияния (рис. 1) обусловлен этим явлением. Установлено, что северное сияние в основном обусловлено фотонами, испущенными атомами кислорода. Значения энергии уровней первого и второго возбужденных состояний по отношению к основному состоянию равны $1.96$ эВ и $4.17$ эВ, соответственно. Времена жизни двух возбужденных состояний атома кислорода составляют $110$ с и $0.8$ с, как показано на рис. 9.

F1  1,00 Получите выражение для плотности атмосферы как функцию высоты и найдите отношение плотности кислорода на высотах $H = 160$ км и $H = 220$ км. Для простоты предположите, что температура атмосферы не зависит от высоты и что воздух является идеальным газом.
$\rho_0 g / P_0 = 0.13$ км$^{-1}$ здесь $\rho_0$ и $P_0$ — плотность и давление атмосферы на уровне моря.

F2  1,50 Определите цвета северных сияний на высотах $H = 160$ км и $H = 220$ км.

Подсказка: Зависимость частоты соударений молекул атмосферы от плотности атмосферы выглядит как $\nu = \nu_0 \frac{\rho}{\rho_0}$; здесь $\nu \approx 10^9$ с$^{-1}$ — частота соударений молекул атмосферы на уровне моря. Возбужденные атомы кислорода теряют часть энергии при столкновении с нейтральными молекулами.

Часть G (1.0 балл)

Как отмечалось выше, мощный солнечный ветер способен сдвинуть дневную магнитопаузу настолько близко к Земле, что высокоорбитальный спутник окажется под воздействием солнечного ветра. Высокоэнергетичные частицы солнечного ветра могут повредить высокотехнологичные электронные компоненты спутника. Для простоты считается, что дипольное магнитное поле Земли слабо изменяется, когда солнечный ветер его сжимает, а плотностью плазмы в магнитосфере можно пренебречь.

G1  1,00 Определите минимальную скорость солнечного ветра, способную вызвать повреждение геостационарного спутника, если индукция магнитного поля и плотность плазмы солнечного ветра составляют $B_s = 5$ нТл и $\rho_s = 50$ протонов/см$^3$ соответственно.

Подсказка: Сила на единицу площади, вызванная магнитным полем, равна $f = \frac{B^2}{2 \mu_0}$. Мы рассматриваем только изменение вдоль $x$ для всех физических величин, т.е. физические величины не зависят от $y$ и $z$.