Фриц Цвики первым указал на существование темной материи. Он пришел к этому выводу, анализируя динамику скопления галактик Комы. Скопление (кластер) содержит около тысячи галактик. С помощью теоремы о вириале Цвики оценил полную массу скопления. Для систем, подобных Солнечной системе, в которых планеты вращаются по круговым орбитам вокруг Солнца, теорема о вириале утверждает, что кинетическая энергия планет определяется потенциальной энергией гравитационного взаимодействия. В общем случае для системы взаимодействующих частиц, теорема о вириале связывает усредненную по времени полную кинетическую энергию системы и усредненную по времени полную потенциальную энергию системы.

Исследуя скорости галактик на периферии Кома-кластера, Цвики пришел к выводу, что полная масса кластера превышает массу входящих в него галактик, наблюдаемых визуально. Чтобы объяснить величины скоростей галактик на периферии кластера, недостаточно учесть гравитационное взаимодействие только с наблюдаемой материей (т.е. видимыми галактиками). Это означало, что в кластере содержится еще какая-то невидимая материя. Если учесть гравитационное взаимодействие с ней, то можно объяснить бОльшие значения наблюдаемых скоростей. Эта невидимая материя и есть «темная материя». В дальнейшем будем считать, что масса каждой галактики равна сумма масс видимой материи и темной материи этой галактики. Оба вида материи движутся совместно. Считайте, что темная материя взаимодействует с видимой только гравитационно.

Часть А. Скопление галактик (5.2 балла)

Пусть кластер (скопление) состоит из большого числа $N$ галактик и темной материи, распределенных однородно внутри сферы радиуса $R$. Полная масса кластера (т.е. и входящих галактик, и темной материи) – $M$, а средняя масса галактики (состоящей из видимой и темной материи) – $m$.

А1  ^1.00 Пусть материя распределена в кластере однородно. Найдите полную гравитационную энергию кластера. Ответ выразите через $M$ и $R$.

Т.к. Вселенная расширяется, объекты удаляются от наблюдателя на Земле. Они удаляются со скоростью, которая зависит от расстояния между наблюдателем и объектом. Как правило, регистрируют излучение линии атома водорода. Частота этой линии от источника, находящегося на Земле, равна $f_0$. Пусть для каждой $i$-той удаляющейся галактики на Земле регистрируется сигнал частотой $f_i$, где $i=1, \ldots, N$.

А2  ^0.50 Определите среднюю скорость скопления галактик $V_{c r}$, которое удаляется от Земли.

Выразите ответ через $f_i(i=1, \ldots, N), f_0$ и $N$.

Примечание. Скорости галактик много меньше скорости света $c$.

А3  ^1.50 Предположим, что скорости галактик относительно центра кластера изотропны (т.е. все направления равноправны). Найдите среднеквадратичную скорость $v_\mathrm{r m s}$ галактик относительно центра их скопления. Выразите ответ через $N, f_i(i=1, \ldots, N)$ и $f_0$. Определите среднюю кинетическую энергию одной галактики относительно центра кластера. Выразите ответ через $v_\mathrm{r m s}$ и $m$.

Чтобы определить полную массу скопления галактик, можно использовать теорему о вириале. Согласно ей, для консервативной системы частиц, $$ \langle K\rangle_t=-\gamma\langle U\rangle_t $$где $\langle K\rangle_t$ – полная кинетическая энергия, усредненная по времени, $\langle U\rangle_t$ – полная потенциальная энергия, усредненная по времени, а $\gamma$ – константа.

Этот результат можно получить, если предположить, что в системе взаимодействующих частиц значения координаты и импульса каждой частицы конечны, а следовательно конечна и следующая величина $$ \Gamma=\sum_i \vec p_i \cdot \vec r_i $$

А4  ^1.70 Усреднение величины $\mathrm d \Gamma /\mathrm d t$ по достаточно большому периоду времени равно нулю, т.е. $\left\langle\dfrac{\mathrm d \Gamma}{\mathrm d t}\right\rangle_t=0$. Определите $\gamma$ в выражении для теоремы о вириале для случая гравитационного взаимодействия.

Указание. Попробуйте решить задачу, просуммировав в $\Gamma$ параметры для небольшого конечного числа галактик.

А5  ^0.50 Используя предыдущие результаты, найдите полную массу темной материи в кластере. Выразите ответ через $N, m_g, R$ и $v_\mathrm{r m s}$, где $m_g$ – средняя масса видимой материи одной галактики. Считайте что среднеквадратичная скорость темной материи совпадает со среднеквадратичной скоростью галактик в кластере.

Часть В. Темная материя в галактике (2.8 балла)

Темная материя есть как внутри галактик, так и вокруг них. Рассмотрим сферическую видимого радиуса $R_g$ (это приблизительное расстояние, где еще можно наблюдать достаточно большое число звезд, при этом, небольшое число звезд могут находиться на расстояниях бОльших $R_g$). Звезды в галактиках можно считать точечными частицами со средней массой $m_s$. Звезды в галактике распределены однородно. Число звезд в единице объема равно $n$.

Будем считать, что звезды движутся по круговым орбитам.

В1  ^0.80 Пусть галактика состоит только из звезд.
Найдите скорость звезды $v(r)$ в зависимости от расстояния от звезды до центра галактики.
Изобразите графически зависимость $v(r)$ для $r< R_g$ и $r\geq R_g$.

На существование темной материи также указывает наблюдаемая зависимость скорости звезд от расстояния $r$ (рисунок 1). Для простоты будем считать, что зависимость $v(r)$ линейна при $r\leq R_g$ и постоянна и равна $v_0$ при $r\geq R_g$.

В2  ^0.50 Найдите полную массу $m_R$ той части галактики, которая находится внутри сферы радиуса $R_g$. Выразите ответ через $v_0$ и $R_g$.

Различие между зависимостью на рис. 1 и графиком, полученным в пункте В1 указывает на существование темной материи.

В3  ^1.50 Определите, как зависит плотность темной материи от расстоянии $r$. Найдите эту зависимость для $r < R_g$ и $r\geq R_g$. Выразите ответы через $r$, $R_g$, $v_0$, $n$ и $m_s$.

Часть С. Межзвездный газ и темная материя (2 балла)

Рассмотрим галактику, в которой присутствуют межзвездный газ и темная материя (массой звезд можно пренебречь). Пусть межзвездный газ состоит из одинаковых частиц массы $m_p$. Концентрация частиц $n(r)$ и температура $T(r)$ газа зависят от расстояния $r$ до центра галактики. Будем считать, что газ находится в гидростатическом равновесии: его давление связано с гравитационным притяжением галактики.

С1  ^0.50 Найдите градиент давления газа $\mathrm dP/\mathrm dr$. Выразите ответ через $m'(r)$, $r$ и $n(r)$, где $m'(r)$ – полная масса газа и темной материи, находящихся внутри сферы радиуса $r$ от центра галактики.

C2  ^0.50 Найдите $m'(r)$. Выразите ответ через $n(r)$, $T(r)$ и их производные по $r$. Считайте межзвездный газ идеальным.

Для простоты предположим, что температура газа постоянна, везде одинакова, и равна $T_0$, а концентрация частиц определяется соотношением: $$n(r)=\frac{\alpha}{r(\beta+r)^2}$$где $\alpha$ и $\beta$ – некоторые постоянные.

С3  ^1.00 Определите, как зависит плотность темной материи в галактике от $r$.