Фотоны, излучаемые с поверхности Солнца и нейтрино из его ядра несут нам информацию о температурах Солнца, а также могут подтвердить, что Солнце светит благодаря ядерным реакциям.

Во всех пунктах этой задачи примите массу Солнца $M_\odot = 2.00 \cdot 10^{30}~кг$, его радиус $R_\odot = 7.00 \cdot 10^8~м$, его мощность (энергия, излученная в единицу времени) $L_\odot = 3.85 \cdot 10^{26}~Вт$, и расстояние от Земли до Солнца $d_\odot = 1.50 \cdot 10^{11}~м$.

Примечание.\[\begin{gathered}\int x e^{a x} \,\mathrm d x=\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right) e^{a x}+\operatorname{const}\\\int x^2 e^{a x} \,\mathrm d x=\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2 x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right) e^{a x}+\operatorname{const}\\\int x^3 e^{a x} \,\mathrm d x=\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3 x^2}{a^2}+\frac{6 x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right) e^{a x}+\operatorname{const}\end{gathered}\]

Часть А. Излучение Солнца (5 баллов)

A1  ^0.30 Полагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, вычислите температуру $T_S$ поверхности Солнца.

Спектр солнечного излучения можно с хорошей точностью приблизить распределением Вина. Соответственно, солнечная энергия, приходящая в единицу времени в единичном диапазоне частот на некоторую площадку на Земле, зависит от частоты так: $$u(\nu)=A \frac{R_{\odot}^2}{d_{\odot}^2} \frac{2 \pi h}{c^2} \nu^3 \exp \left(-h \nu / k_{\mathrm{B}} T_S\right)$$ где $\nu$ – это частота и $A$ – площадь поверхности этой площадки, нормальной к направлению падающего излучения.

Рассмотрим солнечный элемент, который представляет собой тонкий диск из полупроводникового материала. Площадь диска – $A$. Солнечный элемент расположен перпендикулярно направлению падения солнечных лучей.

A2  ^0.30 Используя приближение Вина, выразите полную мощность солнечного излучения $P_\mathrm{in}$, падающего на поверхность солнечного элемента, через $A$, $R_\odot$, $d_\odot$, $T_S$ и фундаментальные константы $c$, $h$, $k_B$.

A3  ^0.20 Как зависит от частоты число фотонов $n_\gamma(\nu)$, падающих в единицу времени в единичном диапазоне частот на поверхность солнечного элемента? Выразите ответ через $A$, $R_\odot$, $d_\odot$, $T_S$, $\nu$ и фундаментальные константы $c$, $h$, $k_B$.

У полупроводника, из которого изготовлен солнечный элемент, ширина запрещенной зоны $E_g$. Используйте следующую модель. Каждый фотон с энергией $E\ge E_g$ позволяет электрону преодолеть запрещенную зону. Возбужденный электрон может преобразовать в полезную только энергию $E_g$, остальная часть энергии рассеивается в виде тепла (не может быть преобразована в полезную).

A4  ^1.00 Считайте, что $\chi_g = h\nu_g/k_BT_S$, где $E_g = h\nu_g$. Выразите полезную мощность солнечного элемента $P_\mathrm{out}$ через $\chi_g$, $A$, $R_\odot$, $d_\odot$, $T_S$ и фундаментальные константы $c$, $h$, $k_B$.

A5  ^1.00 Выразите КПД солнечного элемента $\eta$ через $\chi_g$.

A6  ^0.20 Нарисуйте качественный график зависимости $\eta$ от $\chi_g$. Явно укажите значения $\eta$ при $\chi_g = 0$ и $\chi_g\to\infty$. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику $\eta(\chi_g)$ при $\chi_g = 0$ и $\chi_g\to\infty$?

A7  ^1.00 Пусть $\chi_0$ — это такое значение $\chi_g$, при котором $\eta$ максимален. Получите кубическое уравнение, для которого $\chi_0$ будет решением. Оцените численное значение $\chi_0$ с точностью $\pm0.25$. Рассчитайте также $\eta(\chi_0)$.

A8  ^0.20 Ширина запрещенной зоны чистого кремния $E_g = 1.11~эВ$. Рассчитайте КПД кремниевого солнечного элемента $\eta_\mathrm{Si}$, используя это значение.

В конце XIX века Кельвин и Гельмгольц для объяснения излучения Солнца предложили гипотезу. Они постулировали, что вначале Солнце было очень большим облаком материи массы $M_\odot$ и пренебрежимо малой плотности. Затем Солнце постоянно сжималось. Таким образом, Солнце могло бы светить, постоянно теряя гравитационную потенциальную энергию из-за своего медленного сжатия.

A9  ^0.30 Предположим, что плотность вещества внутри Солнца всюду одинакова. Найдите полную гравитационную потенциальную энергию Солнца $\Omega$, которой оно обладает в наши дни. Выразите ее через $G$, $M_\odot$ и $R_\odot$.

A10  ^0.50 Считая, что мощность излучения Солнца оставалась постоянной на протяжении всего времени, оцените максимально возможное время $\tau_\mathrm{KH}$ (в годах), на протяжении которого Солнце могло светить согласно гипотезе Кельвина и Гельмгольца.

Значение $\tau_\mathrm{KH}$, рассчитанное выше, не согласуется с возрастом солнечной системы, который был оценен при изучении метеоритов. Это говорит о том, что источником энергии Солнца не может быть только гравитационная энергия.

Часть B. Нейтрино от Солнца (5 баллов)

В 1938 Ганс Бете предположил, что ядерная реакция синтеза гелия из водорода, происходящая в ядре Солнца, – это его источник энергии. Результирующее уравнение ядерной реакции:
$$4{}^1\mathrm{H} \rightarrow {}^4\mathrm{He}+2 \mathrm{e}^{+}+2 \nu_{\mathrm{e}}$$Электронные нейтрино $\nu_e$, которые получаются в этой реакции, можно считать безмассовыми. Они вылетают из Солнца и их обнаружение на Земле подтверждает то, что внутри Солнца происходят ядерные реакции. Во всех пунктах этой задачи вы можете пренебречь энергией, уносимой нейтрино.

B1  ^0.60 Рассчитайте плотность потока нейтрино $Ф_\nu$ (в $м^{-2}с^{-1}$), которые достигают Земли. Энергия, которая выделяется в реакции приведенной выше $\Delta E = 4.0 \cdot 10^{-12}~Дж$. Считайте, что энергия, излучаемая Солнцем, полностью получается в реакции приведенной выше.

На пути из ядра Солнца к Земле часть электронных нейтрино $\nu_e$ превращается в нейтрино других типов $\nu_x$. Эффективность детектирования $\nu_x$ составляет $1/6$ эффективности детектирования $\nu_e$. Если бы не происходило превращения нейтрино, мы бы в среднем детектировали $N_1$ нейтрино в год. Однако, из-за этих превращений в среднем детектируется $N_2$ нейтрино в год ($\nu_e$ и $\nu_x$ вместе).

B2  ^0.40 Какая доля $f$ частиц $\nu_e$ превращается в $\nu_x$? Выразите ответ через $N_1$ и $N_2$.

Чтобы детектировать нейтрино, построены огромные детекторы, наполненные водой. Хотя взаимодействия нейтрино с веществом крайне редки, иногда они выбивают электроны из молекул воды в детекторе. Эти высокоэнергетические электроны летят в воде с большими скоростями и при этом излучают свет. До тех пор, пока скорость электрона больше скорости света в воде (показатель преломления $n$), это излучение, называемое Черенковским излучением, испускается в виде конуса.

B3  ^2.00 Предположим, что при движении в воде электрон, выбитый нейтрино, теряет энергию с постоянной скоростью $a$ в единицу времени. Найдите энергию, переданную электрону $E_\mathrm{imparted}$ от нейтрино, считая, что после соударения такой электрон испускает Черенковское излучение на протяжении времени $\Delta t$. Перед соударением электрон покоился. Выразите ответ через $\Delta t$, $n$, $m_e$ и $c$.

Синтез гелия He из водорода H внутри Солнца происходит в несколько этапов. На одном из промежуточных этапов образуется ядро бериллия $^7\mathrm{Be}$ (масса покоя $m_\mathrm{Be}$). Оно может поглотить электрон и образовать ядро лития $^7\mathrm{Li}$ (масса покоя $m_\mathrm{Li} < m_\mathrm{Be}$), испустив $\nu_e$. Соответствующая реакция такая:$$^7\mathrm{Be} + e^-~\to~ ^7\mathrm{Li} + \nu_e$$Когда покоящееся ядро бериллия $\mathrm{Be}$ $(m_\mathrm{Be} = 11.65\cdot 10^{-27}~кг)$ поглощает покоящийся электрон, испускаемое нейтрино уносит энергию $E_\nu = 1.44\cdot 10^{-13}~Дж$. Однако, ядра бериллия находятся в постоянном тепловом движении при температуре $T_c$ ядра Солнца и представляют собой движущиеся источники нейтрино. В результате, энергия испущенных нейтрино варьируется в среднем на $\Delta E_\mathrm{rms}$ (среднеквадратичное отклонение).

B4  ^2.00 Принимая $\Delta E_\mathrm{rms}=5.54\cdot 10^{-17}~Дж$, рассчитайте среднеквадратичную скорость теплового движения ядер бериллия $V_\mathrm{Be}$ и затем оцените температуру $T_c$ ядра Солнца.

Подсказка. $\Delta E_\mathrm{rms}$ зависит от среднеквадратичного значения проекции скорости на направление, вдоль которого ведется наблюдение.