В герметично закрытой на заводе литровой бутылке находится питьевая газированная вода. Пробку бутылки слегка повернули, отвинчивая (при этом раздалось шипение), и заново плотно закрутили. В толще воды появились пузырьки углекислого газа – сначала более крупные, а затем помельче, которые устремились вверх. Изучим процесс всплытия пузырька.
Легко заметить, что форма мелких пузырьков гораздо ближе к сферической, чем форма крупных.

1  ^1.00 Оцените максимальный размер неподвижного пузырька, при котором его форма будет близка к сферической с точностью не хуже $10\%$. Плотность воды $\rho \approx 1~г/см^{3}$, поверхностное натяжение воды $\sigma \approx 0.07~Н/м$, ускорение свободного падения принять равным $g \approx 9.8~м/с^{2}$. Ответ дайте в виде числа (в мм).

Рассмотрим пузырек достаточно малого размера – такой, чтобы его можно было считать почти сферическим. Например, пусть начальный диаметр пузырька, находящегося вблизи дна бутылки, равен $d_{0}=0.3~мм$.

2  ^2.00 Найдите, с каким ускорением начинает двигаться пузырек сразу после отрыва от дна. Плотность углекислого газа в пузырьке при температуре газировки $\rho_{п} \approx 0.002~г/см^{3}$. Ответ дайте в виде числа (в $м/с^{2}$).

Сила лобового сопротивления, которую испытывает при движении в воде пузырек, пропорциональна площади его поперечного сечения, плотности воды и квадрату скорости пузырька. В рамках данной задачи примем, что коэффициент пропорциональности равен $\beta \approx 0.2$.

3  ^2.00 Предположим сначала, что объем пузырька не будет изменяться. Какой в этом случае будет максимальная скорость, которую сможет развить пузырек? Запишите формулу и получите численный ответ (в м/с).

4  ^2.00 Оцените, за какое время от момента отрыва пузырька его движение станет установившимся, то есть его ускорение станет по модулю намного меньше $g$. Запишите формулу и получите численный ответ (в секундах).

На самом деле концентрация молекул растворенного углекислого газа в жидкости существенно выше, чем в газовом пузырьке. Поэтому углекислый газ диффундирует из жидкости в пузырек, и радиус пузырька растет. Логично предположить, что скорость роста объема пузырька за счет поступления новых порций газа пропорциональна площади поверхности пузырька, избыточной концентрации растворенного газа и обратно пропорциональна толщине слоя жидкости, через который в пузырёк диффундирует газ (его называют «слоем обеднения»). Эффективная толщина слоя, через который идет диффузия, тем меньше, чем быстрее движется пузырек (за счет смены воды вокруг пузырька). Вычисления в рамках теории процессов переноса показывают, что толщина слоя обеднения равна $\delta =\operatorname{const} \cdot \sqrt{\frac{d}{v}}$, где $v$ – скорость всплытия пузырька, а $d$ – его диаметр.

5  ^4.00 Для пузырька, всплывающего за время $T$, найдите закон изменения диаметра пузырька с течением времени $t$, если известно, что за время всплытия этот диаметр увеличился в $k=3^{4/5}\approx 2.4$ раза. В качестве ответа запишите формулу, выражающую зависимость $d(t)$ через $T$, $t$, $d_{0}$ и $k=3^{4/5}$. Считайте, что концентрация растворенного углекислого газа в жидкости в процессе всплытия пузырька изменяется несущественно.

6  ^2.00 Найдите закон изменения скорости этого пузырька (в ответе запишите формулу для зависимости $v(t)$, ответ выразите через те же величины и установившуюся скорость $v_{0}$).

7  ^3.00 Найдите закон движения пузырька, то есть зависимость его высоты $h$ над дном от времени $t$ (в ответе запишите формулу, выражающую зависимость $h(t)$ через $T$, $t$ и $v_{0}$; значение $k=3^{4/5}$ считайте прежним).

8  ^4.00 Пусть высота столба жидкости в бутылке, который проходит при всплывании пузырек, равна $H=30~см$. Найдите время всплытия пузырька (получите формулу, в которую входят величины, заданные выше в условии задачи, и найдите численное значение, выразив его в секундах).

В процессе всплытия пузырька $\textit{выделяется теплота}$ (работа силы лобового сопротивления расходуется на увеличение кинетической энергии турбулентных завихрений, которая затем переходит в теплоту), и вместе с этим происходит $\textit{поглощение теплоты}$ (так как происходит испарение углекислого газа из жидкости внутрь пузырьков).

9  ^2.00 Предположим, что вся $\textit{выделяющаяся}$ при всплытии пузырька теплота расходуется на нагревание «столбика» воды с сечением, равным среднему сечению всплывающего пузырька. В рамках этого предположения оцените по порядку величины, на сколько увеличится температура воды в этом «столбике». Удельная теплоемкость воды $c_{в} \approx 4200~Дж/кг \cdot К$. Ответ дайте в виде числа (в градусах Кельвина).

10  ^3.00 На испарение $1$ моля растворенного в воде углекислого газа в пузырьки требуется энергия, равная примерно $20~кДж$. Оцените по порядку величины эффект охлаждения и сравните его с эффектом нагрева (пункт $9$). Ответ дайте в виде числа (в градусах Кельвина). Каким же будет результирующий эффект? Ответ дайте в виде знака «$+$» (увеличение температуры) или «$–$» (уменьшение температуры). Считайте, что давление и температура в бутылке изменяются слабо, и остаются близки к $p_{0} \approx 120~кПа$ и $T_{0} \approx 290~К$.